Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) f:(R,+) longrightarrow(R^*,) definida por f(x)=e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a aplicação definida por é um homomorfismo de grupos. Aqui, estamos lidando com teoria de grupos, especificamente verificando se uma função preserva a estrutura dos grupos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função f(a ast b) = f(a) cdot f(b) entre dois grupos e é um homomorfismo se, para todos os elementos e em , a seguinte condição é satisfeita:
Ou seja, a função deve preservar a operação dos grupos.

Passo 3

No nosso caso, temos e . A operação em é a adição e em é a multiplicação. A função definida é .

Passo 4

Vamos verificar se a condição do homomorfismo é satisfeita:
f(x + y) = e^x + y
E, por outro lado,
f(x) cdot f(y) = e^x cdot e^y = e^x + y

Passo 5

Comparando as duas expressões:
f(x + y) = e^x + y = f(x) cdot f(y)
Vemos que elas são iguais para quaisquer .

Resposta

Sim, a aplicação é um homomorfismo de grupos.

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