Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a)
definida por
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a aplicação
definida por
é um homomorfismo de grupos. Aqui, estamos lidando com teoria de grupos, especificamente verificando se uma função preserva a estrutura dos grupos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função
entre dois grupos
e
é um homomorfismo se, para todos os elementos
e
em
, a seguinte condição é satisfeita:
Ou seja, a função deve preservar a operação dos grupos.
Passo 3
No nosso caso, temos
e
. A operação em
é a adição e em
é a multiplicação. A função definida é
.
Passo 4
Vamos verificar se a condição do homomorfismo é satisfeita:
E, por outro lado,
Passo 5
Comparando as duas expressões:
Vemos que elas são iguais para quaisquer
.
Resposta
Sim, a aplicação
é um homomorfismo de grupos.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
a) em
como grupo multiplicativo de matrizes.
a)
Prove que
definida por
é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de
.
Seja
um grupo, para todo
fixado, mostre que a aplicação
definida por
é um homomorfismo.
Seja
um grupo e
tal que
, onde
é o mínimo com tal propriedade. Prove que se
e
então
divide
.