Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a aplicação definida por é um homomorfismo de grupos. Aqui, estamos lidando com teoria de grupos, especificamente verificando se uma função preserva a estrutura dos grupos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função entre dois grupos e é um homomorfismo se, para todos os elementos e em , a seguinte condição é satisfeita:
Ou seja, a função deve preservar a operação dos grupos.

Passo 3

No nosso caso, temos e . A operação em é a adição e em é a multiplicação. A função definida é .

Passo 4

Vamos verificar se a condição do homomorfismo é satisfeita:
E, por outro lado,

Passo 5

Comparando as duas expressões:
Vemos que elas são iguais para quaisquer .

Resposta

Sim, a aplicação é um homomorfismo de grupos.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
a) em como grupo multiplicativo de matrizes.
Prove que definida por é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de .
Seja um grupo, para todo fixado, mostre que a aplicação definida por é um homomorfismo.
Seja um grupo e tal que , onde é o mínimo com tal propriedade. Prove que se e então divide .