Seja
um grupo, para todo
fixado, mostre que a aplicação
definida por
é um homomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um grupo
, que é um conceito fundamental na álgebra abstrata. O exercício quer que a gente mostre que uma certa aplicação
, que transforma elementos de
de uma maneira específica, é um homomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é uma aplicação homomórfica e como provar que essa aplicação específica cumpre as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto
com uma operação binária (como a multiplicação ou a adição) que satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: Se
e estão em , então também está em . - Associatividade: Para todos
em , . - Elemento identidade: Existe um elemento
em tal que para todo em . - Elemento inverso: Para cada
em , existe um elemento em tal que .
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um homomorfismo entre grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a estrutura do grupo, ou seja, respeita a operação do grupo. Formalmente, se temos dois grupos
e
, uma função
é um homomorfismo se, para todos
em
,
Isso significa que a imagem do produto de dois elementos é igual ao produto das imagens desses elementos.
Passo 4
Vamos definir a aplicação
como
, onde
é um elemento fixo de
. Nosso objetivo é mostrar que
é um homomorfismo, ou seja, que para quaisquer
em
,
Vamos calcular cada lado da equação:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Agora, usando a associatividade do grupo
, podemos reescrever o lado direito:
Sabemos que
, onde
é o elemento identidade de
:
Portanto,
Comparando com o lado esquerdo:
Resposta
Como
para quaisquer
em
, concluímos que a aplicação
é realmente um homomorfismo.
Exercícios relacionados
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) definida por
a)
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
a) em
como grupo multiplicativo de matrizes.
a)
Seja
um grupo e
tal que
, onde
é o mínimo com tal propriedade. Prove que se
e
então
divide
.
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem
é isomorfo a um subgrupo de
.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito