Seja G um grupo, para todo x in G fixado, mostre que a aplicação fx: G longrightarrow G definida por fx(g)=x^-1 g x é um homomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um grupo , que é um conceito fundamental na álgebra abstrata. O exercício quer que a gente mostre que uma certa aplicação , que transforma elementos de de uma maneira específica, é um homomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é uma aplicação homomórfica e como provar que essa aplicação específica cumpre as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação binária (como a multiplicação ou a adição) que satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: Se e estão em , então também está em .
  2. Associatividade: Para todos em , .
  3. Elemento identidade: Existe um elemento em tal que para todo em .
  4. Elemento inverso: Para cada em , existe um elemento em tal que .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um homomorfismo entre grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a estrutura do grupo, ou seja, respeita a operação do grupo. Formalmente, se temos dois grupos phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) e , uma função é um homomorfismo se, para todos em ,
Isso significa que a imagem do produto de dois elementos é igual ao produto das imagens desses elementos.

Passo 4

Vamos definir a aplicação fx(g cdot h) = fx(g) cdot fx(h) como fx(g cdot h) = x^-1 (g cdot h) x , onde fx(g) cdot fx(h) = (x^-1 g x) cdot (x^-1 h x) é um elemento fixo de (x^-1 g x) cdot (x^-1 h x) = x^-1 g (x cdot x^-1) h x . Nosso objetivo é mostrar que x^-1 g e h x = x^-1 g h x é um homomorfismo, ou seja, que para quaisquer fx(g) cdot fx(h) = x^-1 g h x em fx(g cdot h) = x^-1 (g cdot h) x = x^-1 g h x = fx(g) cdot fx(h) ,
Vamos calcular cada lado da equação:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Agora, usando a associatividade do grupo , podemos reescrever o lado direito:
Sabemos que , onde é o elemento identidade de :
Portanto,
Comparando com o lado esquerdo:

Resposta

Como para quaisquer em , concluímos que a aplicação é realmente um homomorfismo.

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