Seja um grupo, para todo fixado, mostre que a aplicação definida por é um homomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um grupo , que é um conceito fundamental na álgebra abstrata. O exercício quer que a gente mostre que uma certa aplicação , que transforma elementos de de uma maneira específica, é um homomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é uma aplicação homomórfica e como provar que essa aplicação específica cumpre as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação binária (como a multiplicação ou a adição) que satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: Se e estão em , então também está em .
  2. Associatividade: Para todos em , .
  3. Elemento identidade: Existe um elemento em tal que para todo em .
  4. Elemento inverso: Para cada em , existe um elemento em tal que .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um homomorfismo entre grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a estrutura do grupo, ou seja, respeita a operação do grupo. Formalmente, se temos dois grupos e , uma função é um homomorfismo se, para todos em ,
Isso significa que a imagem do produto de dois elementos é igual ao produto das imagens desses elementos.

Passo 4

Vamos definir a aplicação como , onde é um elemento fixo de . Nosso objetivo é mostrar que é um homomorfismo, ou seja, que para quaisquer em ,
Vamos calcular cada lado da equação:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Agora, usando a associatividade do grupo , podemos reescrever o lado direito:
Sabemos que , onde é o elemento identidade de :
Portanto,
Comparando com o lado esquerdo:

Resposta

Como para quaisquer em , concluímos que a aplicação é realmente um homomorfismo.

Exercícios relacionados

Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) definida por
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
a) em como grupo multiplicativo de matrizes.
Seja um grupo e tal que , onde é o mínimo com tal propriedade. Prove que se e então divide .
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem é isomorfo a um subgrupo de .