Verifique se A ou B é subgrupo do grupo multiplicativo (Q^*, cdot).
A=x in Q mid x>0 B=p / q in Q mid p, q ímpares í

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo multiplicativo formado por todos os números racionais não nulos, representado por (Q^*, cdot). Queremos verificar se os conjuntos A ou B são subgrupos desse grupo maior.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com teoria de grupos, especificamente com a verificação de subgrupos em grupos multiplicativos.
O que vamos precisar: Conhecer os critérios para um conjunto ser um subgrupo, ou seja:
  1. O conjunto deve ser não vazio.
  2. Fechado sob a operação do grupo (no caso, multiplicação).
  3. Fechado sob a operação inversa (para todo elemento, seu inverso também está no conjunto).

Passo 2

Vamos começar analisando o conjunto A = x in Q mid x > 0.
Não vazio: O número 1 pertence a A porque é um número racional positivo. Então, A não está vazio.
Fechado sob multiplicação: Se pegarmos dois números positivos qualquer, digamos a e b, então a cdot b também será positivo. Por exemplo, 2 cdot 3 = 6 > 0.
Fechado sob inversos: O inverso multiplicativo de um número positivo é outro número positivo. Por exemplo, o inverso de 2 é 12, que também é positivo.
Como A satisfaz todos os três critérios, podemos concluir que A é um subgrupo de (Q^*, cdot).

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto B = pq in Q mid p, q ímparesí.
Não vazio: O número 1, que pode ser representado como 11, pertence a B porque tanto o numerador quanto o denominador são ímpares.
Fechado sob multiplicação: Se pegarmos dois elementos de B, por exemplo, 35 e 79, a multiplicação deles será:
35 cdot 79 = 2145
Ambos 21 e 45 são ímpares, então o resultado também pertence a B.
Fechado sob inversos: O inverso multiplicativo de pq é qp. Se p e q são ímpares, então qp também terá numerador e denominador ímpares.
Como B também satisfaz todos os três critérios, concluímos que B é um subgrupo de (Q^*, cdot).

Resposta

Tanto o conjunto A quanto o conjunto B são subgrupos do grupo multiplicativo (Q^*, cdot).

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