Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo multiplicativo formado por todos os números racionais não nulos, representado por
. Queremos verificar se os conjuntos
ou
são subgrupos desse grupo maior.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com teoria de grupos, especificamente com a verificação de subgrupos em grupos multiplicativos.
O que vamos precisar: Conhecer os critérios para um conjunto ser um subgrupo, ou seja:
- O conjunto deve ser não vazio.
- Fechado sob a operação do grupo (no caso, multiplicação).
- Fechado sob a operação inversa (para todo elemento, seu inverso também está no conjunto).
Passo 2
Vamos começar analisando o conjunto
.
Não vazio: O número 1 pertence a
porque é um número racional positivo. Então,
não está vazio.
Fechado sob multiplicação: Se pegarmos dois números positivos qualquer, digamos
e
, então
também será positivo. Por exemplo,
.
Fechado sob inversos: O inverso multiplicativo de um número positivo é outro número positivo. Por exemplo, o inverso de
é
, que também é positivo.
Como
satisfaz todos os três critérios, podemos concluir que
é um subgrupo de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
.
Não vazio: O número 1, que pode ser representado como
, pertence a
porque tanto o numerador quanto o denominador são ímpares.
Fechado sob multiplicação: Se pegarmos dois elementos de
, por exemplo,
e
, a multiplicação deles será:
Ambos 21 e 45 são ímpares, então o resultado também pertence a
.
Fechado sob inversos: O inverso multiplicativo de
é
. Se
e
são ímpares, então
também terá numerador e denominador ímpares.
Como
também satisfaz todos os três critérios, concluímos que
é um subgrupo de
.
Resposta
Tanto o conjunto
quanto o conjunto
são subgrupos do grupo multiplicativo
.
Exercícios relacionados
Seja
, o) grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição e
. Resolva a equação abaixo
onde
e
Mostre
munido da operação
é um grupo.
Prove que
definida por
é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de
.
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
a) em
como grupo multiplicativo de matrizes.
a)