Verifique se ou é subgrupo do grupo multiplicativo .
í

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo multiplicativo formado por todos os números racionais não nulos, representado por . Queremos verificar se os conjuntos ou são subgrupos desse grupo maior.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com teoria de grupos, especificamente com a verificação de subgrupos em grupos multiplicativos.
O que vamos precisar: Conhecer os critérios para um conjunto ser um subgrupo, ou seja:
  1. O conjunto deve ser não vazio.
  2. Fechado sob a operação do grupo (no caso, multiplicação).
  3. Fechado sob a operação inversa (para todo elemento, seu inverso também está no conjunto).

Passo 2

Vamos começar analisando o conjunto .
Não vazio: O número 1 pertence a porque é um número racional positivo. Então, não está vazio.
Fechado sob multiplicação: Se pegarmos dois números positivos qualquer, digamos e , então também será positivo. Por exemplo, .
Fechado sob inversos: O inverso multiplicativo de um número positivo é outro número positivo. Por exemplo, o inverso de é , que também é positivo.
Como satisfaz todos os três critérios, podemos concluir que é um subgrupo de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto í.
Não vazio: O número 1, que pode ser representado como , pertence a porque tanto o numerador quanto o denominador são ímpares.
Fechado sob multiplicação: Se pegarmos dois elementos de , por exemplo, e , a multiplicação deles será:
Ambos 21 e 45 são ímpares, então o resultado também pertence a .
Fechado sob inversos: O inverso multiplicativo de é . Se e são ímpares, então também terá numerador e denominador ímpares.
Como também satisfaz todos os três critérios, concluímos que é um subgrupo de .

Resposta

Tanto o conjunto quanto o conjunto são subgrupos do grupo multiplicativo .

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Seja , o) grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição e . Resolva a equação abaixo
onde e
Mostre munido da operação
é um grupo.
Prove que definida por é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de .
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
a) em como grupo multiplicativo de matrizes.