Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
b) o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma permutação no grupo das permutações de 4 elementos, . Queremos determinar o grupo cíclico gerado por , que é basicamente todos os poderes de , ou seja, . Além disso, precisamos calcular a ordem do elemento nesse grupo, que é o menor número inteiro positivo tal que é a identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a permutação de forma que fique mais fácil de trabalhar. A permutação dada é:
Isso significa que envia 1 para 2, 2 para 3, 3 para 4 e 4 para 1.

Passo 3

Vamos reescrever na notação de ciclos, que facilita ver o comportamento das permutações. Observamos:
Isso é um ciclo de comprimento 4, ou seja, é um 4-ciclo.

Passo 4

Sabemos que a ordem de um ciclo é igual ao seu comprimento. Portanto, a ordem de é 4. Isso significa que:
onde “id” é a permutação identidade que deixa todos os elementos no lugar.

Passo 5

Agora, vamos listar os elementos do grupo cíclico :
Cada potência de representa uma aplicação da permutação.

Resposta

O grupo cíclico gerado por é e a ordem do elemento em é 4.

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O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(a) Seja um grupo e . Mostre que definida por é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).
Prove que é isomorfo a , onde é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.
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© Seja um grupo de ordem . Considere é bijeção . Defina
por . Prove que é um homomorfismo injetivo.
Os pontos médios dos lados de um triângulo são e . Determine as coordenadas dos três vértices.