Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
b)
o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.
b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma permutação
no grupo das permutações de 4 elementos,
. Queremos determinar o grupo cíclico gerado por
, que é basicamente todos os poderes de
, ou seja,
. Além disso, precisamos calcular a ordem do elemento
nesse grupo, que é o menor número inteiro positivo
tal que
é a identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a permutação
de forma que fique mais fácil de trabalhar. A permutação dada é:
Isso significa que
envia 1 para 2, 2 para 3, 3 para 4 e 4 para 1.
Passo 3
Vamos reescrever
na notação de ciclos, que facilita ver o comportamento das permutações. Observamos:
Isso é um ciclo de comprimento 4, ou seja,
é um 4-ciclo.
Passo 4
Sabemos que a ordem de um ciclo é igual ao seu comprimento. Portanto, a ordem de
é 4. Isso significa que:
onde “id” é a permutação identidade que deixa todos os elementos no lugar.
Passo 5
Agora, vamos listar os elementos do grupo cíclico
:
Cada potência de
representa uma aplicação da permutação.
Resposta
O grupo cíclico gerado por
é
e a ordem do elemento
em
é 4.
Exercícios relacionados
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(a) Seja um grupo e
. Mostre que
definida por
é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).
(a) Seja
Prove que
é isomorfo a
, onde
é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
© Seja um grupo de ordem
. Considere
é bijeção
. Defina
© Seja
por
. Prove que
é um homomorfismo injetivo.
Os pontos médios dos lados de um triângulo são
e
. Determine as coordenadas dos três vértices.