O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(a) Seja
um grupo e
. Mostre que
definida por
é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).
(a) Seja
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que, dado um grupo finito
e um elemento
em
, a função
definida por
é um isomorfismo, ou seja, um homomorfismo bijetivo. Isso está relacionado com a Teoria de Grupos, especificamente com o Teorema de Cayley, que afirma que todo grupo finito é isomorfo a um grupo de permutações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. É uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. No nosso caso, queremos mostrar que
preserva a operação de multiplicação do grupo
.
Então, vamos pegar dois elementos quaisquer
e ver se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mas, como
é um grupo, a operação é associativa, então:
Para que
seja um homomorfismo, precisamos que essas duas expressões sejam iguais. Vamos ver se isso acontece.
Passo 3
Observando a estrutura do grupo, percebemos que se
for um elemento fixo, a função
está realmente “redistribuindo” os elementos de
de uma forma que preserva a operação do grupo. Vamos simplificar:
Para que essas duas sejam iguais para todo
, precisamos que
. Isso acontece porque
é um grupo e possui a propriedade de associatividade.
Portanto,
é um homomorfismo de grupos.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é bijetivo, ou seja, se é injeção e sobrejeção.
- Injeção: Precisamos mostrar que se
, então .
Isso é válido porque podemos “cancelar” o
multiplicando ambos os lados pelo inverso de
à esquerda.
- Sobrejeção: Precisamos mostrar que para todo
, existe um tal que .
Escolhemos
, então:
Assim, toda
tem um preimagem em
, garantindo a sobrejeção.
Como
é injetivo e sobrejetivo, ela é bijetiva.
Resposta
Portanto, a função
definida por
é um homomorfismo bijetivo, ou seja, um isomorfismo.
Exercícios relacionados
Prove que
é isomorfo a
, onde
é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por
c)
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
b) o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.
b)
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
© Seja um grupo de ordem
. Considere
é bijeção
. Defina
© Seja
por
. Prove que
é um homomorfismo injetivo.