O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de Sn, onde Sn é um grupo das permutações de um conjunto com n elementos.
(a) Seja G um grupo e x in G. Mostre que phix: G longrightarrow G definida por phix(g)=x g é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que, dado um grupo finito e um elemento em , a função definida por é um isomorfismo, ou seja, um homomorfismo bijetivo. Isso está relacionado com a Teoria de Grupos, especificamente com o Teorema de Cayley, que afirma que todo grupo finito é isomorfo a um grupo de permutações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. É uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. No nosso caso, queremos mostrar que phix(g1 g2) = phix(g1) phix(g2) preserva a operação de multiplicação do grupo phix(g1 g2) = x(g1 g2) .
Então, vamos pegar dois elementos quaisquer phix(g1) phix(g2) = (x g1)(x g2) e ver se:
(x g1)(x g2) = x (g1 x) g2
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mas, como é um grupo, a operação é associativa, então:
Para que seja um homomorfismo, precisamos que essas duas expressões sejam iguais. Vamos ver se isso acontece.

Passo 3

Observando a estrutura do grupo, percebemos que se phix(g1 g2) = x (g1 g2) for um elemento fixo, a função phix(g1) phix(g2) = (x g1)(x g2) = x g1 x g2 está realmente “redistribuindo” os elementos de de uma forma que preserva a operação do grupo. Vamos simplificar:
Para que essas duas sejam iguais para todo , precisamos que . Isso acontece porque é um grupo e possui a propriedade de associatividade.
Portanto, é um homomorfismo de grupos.

Passo 4

Agora, vamos verificar se x g1 = x g2 implies g1 = g2 é bijetivo, ou seja, se é injeção e sobrejeção.
  • Injeção: Precisamos mostrar que se phix(g) = x (x^-1 h) = h , então .
Isso é válido porque podemos “cancelar” o multiplicando ambos os lados pelo inverso de à esquerda.
  • Sobrejeção: Precisamos mostrar que para todo , existe um tal que .
Escolhemos , então:
Assim, toda tem um preimagem em , garantindo a sobrejeção.
Como é injetivo e sobrejetivo, ela é bijetiva.

Resposta

Portanto, a função definida por é um homomorfismo bijetivo, ou seja, um isomorfismo.

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