O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(a) Seja um grupo e . Mostre que definida por é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que, dado um grupo finito e um elemento em , a função definida por é um isomorfismo, ou seja, um homomorfismo bijetivo. Isso está relacionado com a Teoria de Grupos, especificamente com o Teorema de Cayley, que afirma que todo grupo finito é isomorfo a um grupo de permutações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. É uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. No nosso caso, queremos mostrar que preserva a operação de multiplicação do grupo .
Então, vamos pegar dois elementos quaisquer e ver se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mas, como é um grupo, a operação é associativa, então:
Para que seja um homomorfismo, precisamos que essas duas expressões sejam iguais. Vamos ver se isso acontece.

Passo 3

Observando a estrutura do grupo, percebemos que se for um elemento fixo, a função está realmente “redistribuindo” os elementos de de uma forma que preserva a operação do grupo. Vamos simplificar:
Para que essas duas sejam iguais para todo , precisamos que . Isso acontece porque é um grupo e possui a propriedade de associatividade.
Portanto, é um homomorfismo de grupos.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é bijetivo, ou seja, se é injeção e sobrejeção.
  • Injeção: Precisamos mostrar que se , então .
Isso é válido porque podemos “cancelar” o multiplicando ambos os lados pelo inverso de à esquerda.
  • Sobrejeção: Precisamos mostrar que para todo , existe um tal que .
Escolhemos , então:
Assim, toda tem um preimagem em , garantindo a sobrejeção.
Como é injetivo e sobrejetivo, ela é bijetiva.

Resposta

Portanto, a função definida por é um homomorfismo bijetivo, ou seja, um isomorfismo.

Exercícios relacionados

Prove que é isomorfo a , onde é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
b) o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
© Seja um grupo de ordem . Considere é bijeção . Defina
por . Prove que é um homomorfismo injetivo.