Os pontos médios dos lados de um triângulo são e . Determine as coordenadas dos três vértices.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que os pontos médios dos lados de um triângulo são , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos três vértices desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar o fórmula do ponto médio da geometria analítica, que nos ajuda a relacionar as coordenadas dos vértices com as dos pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos nomear os vértices do triângulo como , e . E os pontos médios correspondentes serão:
é o ponto médio de , então
é o ponto médio de , então
é o ponto médio de , então
Passo 3
A fórmula do ponto médio nos diz que, para dois pontos e , o ponto médio é dado por:
Vamos aplicar isso para cada um dos pontos médios que temos.
Passo 4
Para o ponto médio de :
Isso nos dá duas equações:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Para o ponto médio de :
Isso nos dá:
Multiplicando por 2:
Passo 6
Para o ponto médio de :
Isso nos dá:
Multiplicando por 2:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver para encontrar , e .
Subtraindo (3) de (2):
Substituindo (4) em (1):
Agora, usando em (4):
E usando em (3):
Passo 8
Agora, vamos fazer o mesmo para as coordenadas . Temos as seguintes equações: