Os pontos médios dos lados de um triângulo são e . Determine as coordenadas dos três vértices.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que os pontos médios dos lados de um triângulo são , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos três vértices desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar o fórmula do ponto médio da geometria analítica, que nos ajuda a relacionar as coordenadas dos vértices com as dos pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos nomear os vértices do triângulo como , e . E os pontos médios correspondentes serão:
  • é o ponto médio de , então
  • é o ponto médio de , então
  • é o ponto médio de , então

Passo 3

A fórmula do ponto médio nos diz que, para dois pontos e , o ponto médio é dado por:
Vamos aplicar isso para cada um dos pontos médios que temos.

Passo 4

Para o ponto médio de :
Isso nos dá duas equações:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Para o ponto médio de :
Isso nos dá:
Multiplicando por 2:

Passo 6

Para o ponto médio de :
Isso nos dá:
Multiplicando por 2:

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver para encontrar , e .
Subtraindo (3) de (2):
Substituindo (4) em (1):
Agora, usando em (4):
E usando em (3):

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para as coordenadas . Temos as seguintes equações:
Subtraindo (3’) de (2’):
Substituindo (4’) em (1’):
Usando em (4’):
E usando em (3’):

Resposta

Os vértices do triângulo são:

Exercícios relacionados

O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
© Seja um grupo de ordem . Considere é bijeção . Defina
por . Prove que é um homomorfismo injetivo.
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
b) o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.
Dados dois pontos e
, encontre a coordenada do ponto , que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal .
Mostre que dois vetores não nulos e v : são se e somente se existe tal que:
Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo são LI ou LD:
a)

b)

c)