Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2,5),(4,2) e (1,1). Determine as coordenadas dos três vértices.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que os pontos médios dos lados de um triângulo são , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos três vértices desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar o fórmula do ponto médio da geometria analítica, que nos ajuda a relacionar as coordenadas dos vértices com as dos pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos nomear os vértices do triângulo como , e . E os pontos médios correspondentes serão:
  • é o ponto médio de , então
  • é o ponto médio de , então
  • é o ponto médio de , então

Passo 3

A fórmula do ponto médio nos diz que, para dois pontos M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) e , o ponto médio é dado por:
Vamos aplicar isso para cada um dos pontos médios que temos.

Passo 4

Para o ponto médio ( Ax + Bx2, Ay + By2 ) = (2,5) de Ax + Bx2 = 2 e Ay + By2 = 5 :
Ax + Bx = 4 e Ay + By = 10 (1)
Isso nos dá duas equações:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Para o ponto médio ( Bx + Cx2, By + Cy2 ) = (4,2) de Bx + Cx2 = 4 e By + Cy2 = 2 :
Bx + Cx = 8 e By + Cy = 4 (2)
Isso nos dá:
Multiplicando por 2:

Passo 6

Para o ponto médio ( Ax + Cx2, Ay + Cy2 ) = (1,1) de Ax + Cx2 = 1 e Ay + Cy2 = 1 :
Ax + Cx = 2 e Ay + Cy = 2 (3)
Isso nos dá:
Multiplicando por 2:

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Ax + Bx = 4 (1) Bx + Cx = 8 (2) Ax + Cx = 2 (3)
Vamos resolver para encontrar Bx + Cx - (Ax + Cx) = 8 - 2 Bx - Ax = 6 Rightarrow Bx = Ax + 6 (4) , Ax + (Ax + 6) = 4 2Ax + 6 = 4 2Ax = -2 Ax = -1 e Bx = -1 + 6 = 5 .
Subtraindo (3) de (2):
-1 + Cx = 2 Cx = 3
Substituindo (4) em (1):
Agora, usando em (4):
E usando em (3):

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para as coordenadas Ay + By = 10 (1') By + Cy = 4 (2') Ay + Cy = 2 (3') . Temos as seguintes equações:
By + Cy - (Ay + Cy) = 4 - 2 By - Ay = 2 Rightarrow By = Ay + 2 (4')
Subtraindo (3’) de (2’):
Ay + (Ay + 2) = 10 2Ay + 2 = 10 2Ay = 8 Ay = 4
Substituindo (4’) em (1’):
By = 4 + 2 = 6
Usando 4 + Cy = 2 Cy = -2 em (4’):
E usando em (3’):

Resposta

Os vértices do triângulo são:
A = (-1, 4), B = (5, 6) e C = (3, -2)

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