Prove que
é isomorfo a
, onde
é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o grupo dos inteiros módulo
, chamado
, é isomorfo ao grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos, chamado
.
Matéria envolvida: Teoria de grupos, especificamente sobre isomorfismos de grupos.
O que vamos precisar: Entender o que é um isomorfismo de grupos e como definir uma função que mostre essa correspondência entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de grupos. Um isomorfismo é uma função
entre dois grupos que satisfaz duas condições:
- Bijetora:
deve ser uma função que associa cada elemento de a um único elemento de e vice-versa, sem deixar nenhum elemento de fora. - Preserva a operação: Para todos
em , .
Se a gente conseguir encontrar tal função
, então os dois grupos são isomorfos, ou seja, essencialmente têm a mesma estrutura.
Passo 3
Agora, vamos definir uma função que vai ligar
a
. Uma função natural aqui é usar as raízes da unidade. Definimos:
onde
é um elemento de
.
Por que escolher essa função? Porque as potências de
geram todas as
-ésimas raízes da unidade, que são exatamente os elementos de
.
Passo 4
Vamos verificar se
é bijetora:
-
Injetora: Se
, então . Isso implica que , ou seja, em . Então, é injetora. -
Sobrejetora: Todo elemento de
é uma -ésima raiz da unidade, ou seja, pode ser escrito como para algum em . Portanto, cobre todos os elementos de .
Assim,
é bijetora.
Passo 5
Agora, vamos ver se
preserva a operação. Ou seja, queremos mostrar que:
Calculando cada lado:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Vemos que ambos os lados são iguais:
Portanto,
preserva a operação.
Resposta
Conseguimos mostrar que existe uma função
que é bijetora e preserva a operação entre
e
. Assim,
é isomorfo a
.
Exercícios relacionados
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por
c)
Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
das matrizes de ordem 2 inversíveis.
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(a) Seja um grupo e
. Mostre que
definida por
é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).
(a) Seja
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
b) o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.
b)