Prove que é isomorfo a , onde é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o grupo dos inteiros módulo , chamado , é isomorfo ao grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos, chamado .
Matéria envolvida: Teoria de grupos, especificamente sobre isomorfismos de grupos.
O que vamos precisar: Entender o que é um isomorfismo de grupos e como definir uma função que mostre essa correspondência entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de grupos. Um isomorfismo é uma função entre dois grupos que satisfaz duas condições:
  1. Bijetora: deve ser uma função que associa cada elemento de a um único elemento de e vice-versa, sem deixar nenhum elemento de fora.
  2. Preserva a operação: Para todos em , .
Se a gente conseguir encontrar tal função , então os dois grupos são isomorfos, ou seja, essencialmente têm a mesma estrutura.

Passo 3

Agora, vamos definir uma função que vai ligar a . Uma função natural aqui é usar as raízes da unidade. Definimos:
onde é um elemento de .
Por que escolher essa função? Porque as potências de geram todas as -ésimas raízes da unidade, que são exatamente os elementos de .

Passo 4

Vamos verificar se é bijetora:
  • Injetora: Se , então . Isso implica que , ou seja, em . Então, é injetora.
  • Sobrejetora: Todo elemento de é uma -ésima raiz da unidade, ou seja, pode ser escrito como para algum em . Portanto, cobre todos os elementos de .
Assim, é bijetora.

Passo 5

Agora, vamos ver se preserva a operação. Ou seja, queremos mostrar que:
Calculando cada lado:
  • Lado esquerdo:
  • Lado direito:
Vemos que ambos os lados são iguais:
Portanto, preserva a operação.

Resposta

Conseguimos mostrar que existe uma função que é bijetora e preserva a operação entre e . Assim, é isomorfo a .

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Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por
Verifique se ou é subgrupo do grupo multiplicativo das matrizes de ordem 2 inversíveis.
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
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Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
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