O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de Sn, onde Sn é um grupo das permutações de um conjunto com n elementos.
© Seja G um grupo de ordem n. Considere Sn=f: G longrightarrow G ; f é bijeção . Defina
Psi: G longrightarrow Sn
por Psi(x)=phix. Prove que Psi é um homomorfismo injetivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função é um homomorfismo injetivo. Estamos trabalhando com Teoria dos Grupos, especificamente com o Teorema de Cayley, que diz que todo grupo finito pode ser representado como um grupo de permutações. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo, o que significa ser injetivo e como funciona o grupo das permutações .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . Ela mapeia cada elemento do grupo para uma permutação em . Essa permutação é definida por para todo . Ou seja, “multiplica” cada elemento de por à esquerda.

Passo 3

Agora, para provar que é um homomorfismo, precisamos mostrar que para todo . Isso significa que a imagem do produto de dois elementos em deve ser igual à composição das imagens desses elementos.

Passo 4

Vamos calcular (Psi(x) circ Psi(y))(g) = Psi(x)(Psi(y)(g)) = Psi(x)(yg) = x(yg) = (xy)g . Pela definição, , onde .
Por outro lado, significa primeiro aplicar e depois . Então,

Passo 5

Comparando as duas expressões:
Psi(xy)(g) = (xy)g = Psi(x) circ Psi(y)(g)
Como isso vale para todo , temos que . Portanto, preserva a operação de grupo e é um homomorfismo.

Passo 6

Agora, vamos provar que é injetivo. Para isso, precisamos mostrar que se , então . Ou seja, se as permutações correspondentes a e são iguais, então os elementos e são iguais no grupo .

Passo 7

Suponha que phix(g) = phiy(g) implies xg = yg . Então, para todo xe = ye implies x = y ,
Se escolhermos , onde é o elemento neutro de , temos:

Resposta

Portanto, é um homomorfismo injetivo, comprovando assim o Teorema de Cayley para o grupo .

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