O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
© Seja um grupo de ordem . Considere é bijeção . Defina
por . Prove que é um homomorfismo injetivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função é um homomorfismo injetivo. Estamos trabalhando com Teoria dos Grupos, especificamente com o Teorema de Cayley, que diz que todo grupo finito pode ser representado como um grupo de permutações. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo, o que significa ser injetivo e como funciona o grupo das permutações .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . Ela mapeia cada elemento do grupo para uma permutação em . Essa permutação é definida por para todo . Ou seja, “multiplica” cada elemento de por à esquerda.

Passo 3

Agora, para provar que é um homomorfismo, precisamos mostrar que para todo . Isso significa que a imagem do produto de dois elementos em deve ser igual à composição das imagens desses elementos.

Passo 4

Vamos calcular . Pela definição, , onde .
Por outro lado, significa primeiro aplicar e depois . Então,

Passo 5

Comparando as duas expressões:
Como isso vale para todo , temos que . Portanto, preserva a operação de grupo e é um homomorfismo.

Passo 6

Agora, vamos provar que é injetivo. Para isso, precisamos mostrar que se , então . Ou seja, se as permutações correspondentes a e são iguais, então os elementos e são iguais no grupo .

Passo 7

Suponha que . Então, para todo ,
Se escolhermos , onde é o elemento neutro de , temos:

Resposta

Portanto, é um homomorfismo injetivo, comprovando assim o Teorema de Cayley para o grupo .

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Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
b) o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(a) Seja um grupo e . Mostre que definida por é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).
Os pontos médios dos lados de um triângulo são e . Determine as coordenadas dos três vértices.
Dados dois pontos e
, encontre a coordenada do ponto , que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal .