O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
© Seja
um grupo de ordem
. Considere
é bijeção
. Defina
por
. Prove que
é um homomorfismo injetivo.
© Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função
é um homomorfismo injetivo. Estamos trabalhando com Teoria dos Grupos, especificamente com o Teorema de Cayley, que diz que todo grupo finito pode ser representado como um grupo de permutações. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo, o que significa ser injetivo e como funciona o grupo das permutações
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função
. Ela mapeia cada elemento
do grupo
para uma permutação
em
. Essa permutação
é definida por
para todo
. Ou seja,
“multiplica” cada elemento de
por
à esquerda.
Passo 3
Agora, para provar que
é um homomorfismo, precisamos mostrar que
para todo
. Isso significa que a imagem do produto de dois elementos em
deve ser igual à composição das imagens desses elementos.
Passo 4
Vamos calcular
. Pela definição,
, onde
.
Por outro lado,
significa primeiro aplicar
e depois
. Então,
Passo 5
Comparando as duas expressões:
Como isso vale para todo
, temos que
. Portanto,
preserva a operação de grupo e é um homomorfismo.
Passo 6
Agora, vamos provar que
é injetivo. Para isso, precisamos mostrar que se
, então
. Ou seja, se as permutações correspondentes a
e
são iguais, então os elementos
e
são iguais no grupo
.
Passo 7
Suponha que
. Então, para todo
,
Se escolhermos
, onde
é o elemento neutro de
, temos:
Resposta
Portanto,
é um homomorfismo injetivo, comprovando assim o Teorema de Cayley para o grupo
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
b) o grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição.
b)
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(a) Seja um grupo e
. Mostre que
definida por
é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).
(a) Seja
Os pontos médios dos lados de um triângulo são
e
. Determine as coordenadas dos três vértices.
Dados dois pontos
e
, encontre a coordenada do ponto
, que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal
.