Em cada item abaixo, determine a posição relativa de $r$ e $\pi$. Caso $r$ e $\pi$ sejam transversais, determine se são ortogonais e exiba o ponto de intersecção. (b) $r:\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0 \\ 2 x+y-z-1=0\end{array} ; \pi: X=\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)+\lambda\left(1,-\frac{1}{2}, 0\right)+\mu(0,1,1)\right.$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente precisa descobrir a relação entre a reta \( r \) e o plano \( \pi \). Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de equações e vetores. Vamos precisar achar uma representação paramétrica da reta, verificar se ela está no plano, se são paralelas ou se se cruzam, e se se cruzarem, ver se são perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma representação paramétrica da reta \( r \). A reta é definida pelas equações:
\[
\begin{cases}
x - y + z = 0 \\
2x + y - z - 1 = 0
\end{cases}
\]
Vamos resolver esse sistema para expressar \( x, y, z \) em termos de um parâmetro. Subtraindo a primeira equação da segunda:
\[
2x + y - z - 1 - (x - y + z) = x + 2y - 2z - 1 = 0
\]
Podemos expressar \( x \) em função de \( y \) e \( z \):
\[
x = 1 - 2y + 2z
\]
Vamos escolher um parâmetro, digamos \( t = y \). Então:
\[
x = 1 - 2t + 2z
\]
E da primeira equação:
\[
1 - 2t + 2z - t + z = 0 \Rightarrow 1 - 3t + 3z = 0 \Rightarrow z = t - \frac{1}{3}
\]
Substituindo \( z \) na expressão de \( x \):
\[
x = 1 - 2t + 2\left(t - \frac{1}{3}\right) = 1 - 2t + 2t - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
\]
Então, a representação paramétrica da reta \( r \) é:
\[
\mathbf{r}(t) = \left(\frac{1}{3}, t, t - \frac{1}{3}\right)
\]
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano \( \pi \). A equação paramétrica do plano é:
\[
\mathbf{X} = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) + \lambda\left(1, -\frac{1}{2}, 0\right) + \mu\left(0, 1, 1\right)
\]
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
\[
\mathbf{X} = \left(0 + \lambda \cdot 1 + \mu \cdot 0, \frac{1}{2} + \lambda \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \mu \cdot 1, 0 + \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 1\right)
\]
Simplificando:
\[
\mathbf{X} = (\lambda, \frac{1}{2} - \frac{\lambda}{2} + \mu, \mu)
\]
Passo 4
Para verificar se a reta \( r \) está no plano \( \pi \), vamos igualar as duas representações. Ou seja, precisamos encontrar valores de \( t \), \( \lambda \) e \( \mu \) que satisfaçam:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{3} = \lambda \\
t = \frac{1}{2} - \frac{\lambda}{2} + \mu \\
t - \frac{1}{3} = \mu
\end{cases}
\]
Sabemos que \( \lambda = \frac{1}{3} \). Substituindo na terceira equação:
\[
t - \frac{1}{3} = \mu \Rightarrow \mu = t - \frac{1}{3}
\]
Substituindo \( \lambda \) e \( \mu \) na segunda equação:
\[
t = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + t - \frac{1}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + t
\]
Simplificando:
\[
0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} \Rightarrow 0 = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = 0
\]
Isso significa que qualquer valor de \( t \) satisfaz a equação, então a reta \( r \) está contida no plano \( \pi \).
Resposta
A reta \( r \) está contida no plano \( \pi \); ou seja, \( r \) pertence a \( \pi \).