Em cada item abaixo, determine a posição relativa de $r$ e $\pi$. Caso $r$ e $\pi$ sejam transversais, determine se são ortogonais e exiba o ponto de intersecção. (b) $r:\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0 \\ 2 x+y-z-1=0\end{array} ; \pi: X=\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)+\lambda\left(1,-\frac{1}{2}, 0\right)+\mu(0,1,1)\right.$.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente precisa descobrir a relação entre a reta \( r \) e o plano \( \pi \). Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de equações e vetores. Vamos precisar achar uma representação paramétrica da reta, verificar se ela está no plano, se são paralelas ou se se cruzam, e se se cruzarem, ver se são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma representação paramétrica da reta \( r \). A reta é definida pelas equações: \[ \begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z - 1 = 0 \end{cases} \] Vamos resolver esse sistema para expressar \( x, y, z \) em termos de um parâmetro. Subtraindo a primeira equação da segunda: \[ 2x + y - z - 1 - (x - y + z) = x + 2y - 2z - 1 = 0 \] Podemos expressar \( x \) em função de \( y \) e \( z \): \[ x = 1 - 2y + 2z \] Vamos escolher um parâmetro, digamos \( t = y \). Então: \[ x = 1 - 2t + 2z \] E da primeira equação: \[ 1 - 2t + 2z - t + z = 0 \Rightarrow 1 - 3t + 3z = 0 \Rightarrow z = t - \frac{1}{3} \] Substituindo \( z \) na expressão de \( x \): \[ x = 1 - 2t + 2\left(t - \frac{1}{3}\right) = 1 - 2t + 2t - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] Então, a representação paramétrica da reta \( r \) é: \[ \mathbf{r}(t) = \left(\frac{1}{3}, t, t - \frac{1}{3}\right) \]

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano \( \pi \). A equação paramétrica do plano é: \[ \mathbf{X} = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) + \lambda\left(1, -\frac{1}{2}, 0\right) + \mu\left(0, 1, 1\right) \] Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser escrito como: \[ \mathbf{X} = \left(0 + \lambda \cdot 1 + \mu \cdot 0, \frac{1}{2} + \lambda \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \mu \cdot 1, 0 + \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 1\right) \] Simplificando: \[ \mathbf{X} = (\lambda, \frac{1}{2} - \frac{\lambda}{2} + \mu, \mu) \]

Passo 4

Para verificar se a reta \( r \) está no plano \( \pi \), vamos igualar as duas representações. Ou seja, precisamos encontrar valores de \( t \), \( \lambda \) e \( \mu \) que satisfaçam: \[ \begin{cases} \frac{1}{3} = \lambda \\ t = \frac{1}{2} - \frac{\lambda}{2} + \mu \\ t - \frac{1}{3} = \mu \end{cases} \] Sabemos que \( \lambda = \frac{1}{3} \). Substituindo na terceira equação: \[ t - \frac{1}{3} = \mu \Rightarrow \mu = t - \frac{1}{3} \] Substituindo \( \lambda \) e \( \mu \) na segunda equação: \[ t = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + t - \frac{1}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + t \] Simplificando: \[ 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} \Rightarrow 0 = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = 0 \] Isso significa que qualquer valor de \( t \) satisfaz a equação, então a reta \( r \) está contida no plano \( \pi \).

Resposta

A reta \( r \) está contida no plano \( \pi \); ou seja, \( r \) pertence a \( \pi \).

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