Sejam A=(0,0,0), B(0,1,2), C=(1,1,0) pontos de R^3.
(a) Determine o ponto D , de modo que o quadriátero A B C D, nesta ordem, seja um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . A questão pede para encontrar o ponto de modo que o quadrilátero seja um paralelogramo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza um paralelogramo. Neste caso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para encontrar as coordenadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais em comprimento e direção. Isso significa que o vetor de para ( ) deve ser igual ao vetor de para ( ), ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB = B - A = (0 - 0, 1 - 0, 2 - 0) = (0, 1, 2) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 4

Sabendo que DC = AB = (0, 1, 2) , podemos escrever:
C - D = (0, 1, 2)
Mas também pode ser expresso como . Então:

Passo 5

Vamos isolar D = C - (0, 1, 2) na equação acima:
D = (1 - 0, 1 - 1, 0 - 2) = (1, 0, -2)
Substituindo as coordenadas de :

Resposta

O ponto que faz com que o quadrilátero seja um paralelogramo é .

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