Sejam pontos de .
(a) Determine o ponto D , de modo que o quadriátero , nesta ordem, seja um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . A questão pede para encontrar o ponto de modo que o quadrilátero seja um paralelogramo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza um paralelogramo. Neste caso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para encontrar as coordenadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais em comprimento e direção. Isso significa que o vetor de para ( ) deve ser igual ao vetor de para ( ), ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 4

Sabendo que , podemos escrever:
Mas também pode ser expresso como . Então:

Passo 5

Vamos isolar na equação acima:
Substituindo as coordenadas de :

Resposta

O ponto que faz com que o quadrilátero seja um paralelogramo é .

Exercícios relacionados

Encontre as coordenadas do ponto que divide o segmento que une o pontos e na proporção .
Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
© .
Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de (conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
© formado por todas as matrizes triangulares superiores.