Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M2 times 2(R) (conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
© U2 times 2 formado por todas as matrizes triangulares superiores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto , formado por todas as matrizes triangulares superiores de ordem 2 com entradas reais, é um subespaço vetorial de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz A = a & b 0 & c de ordem 2 é triangular superior se ela tem a seguinte forma:
onde são números reais. Ou seja, o elemento abaixo da diagonal principal é zero.

Passo 3

Agora, para provar que é um subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , então a soma desses vetores também está em .
  3. Se um vetor está em , então qualquer múltiplo escalar desse vetor também está em .

Passo 4

Propriedade 1: O vetor zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0 .
O vetor zero em é a matriz:
E essa matriz é claramente triangular superior, já que o elemento abaixo da diagonal é zero. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 5

Propriedade 2: Fechamento sob adição.
Vamos considerar duas matrizes triangulares superiores quaisquer em A = a & b 0 & c , B = d & e 0 & f :
A + B = a + d & b + e 0 + 0 & c + f = a + d & b + e 0 & c + f
Somando elas:
Essa matriz resultante também é triangular superior, já que o elemento abaixo da diagonal continua sendo zero. Assim, a soma de duas matrizes em também está em .

Passo 6

Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar uma matriz triangular superior A = a & b 0 & c em kA = k cdot a & k cdot b k cdot 0 & k cdot c = ka & kb 0 & kc e um escalar :
Multiplicando por :
Essa matriz também é triangular superior, já que o elemento abaixo da diagonal permanece zero após a multiplicação. Portanto, qualquer múltiplo escalar de uma matriz em também está em .

Resposta

Como satisfaz todas as três propriedades requeridas (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), concluímos que é de fato um subespaço vetorial de .

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