Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
(conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
©
formado por todas as matrizes triangulares superiores.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, formado por todas as matrizes triangulares superiores de ordem 2 com entradas reais, é um subespaço vetorial de
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz
de ordem 2 é triangular superior se ela tem a seguinte forma:
onde
são números reais. Ou seja, o elemento abaixo da diagonal principal é zero.
Passo 3
Agora, para provar que
é um subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
- O vetor zero está em
. - Se dois vetores estão em
, então a soma desses vetores também está em . - Se um vetor está em
, então qualquer múltiplo escalar desse vetor também está em .
Passo 4
Propriedade 1: O vetor zero está em
.
O vetor zero em
é a matriz:
E essa matriz é claramente triangular superior, já que o elemento abaixo da diagonal é zero. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 5
Propriedade 2: Fechamento sob adição.
Vamos considerar duas matrizes triangulares superiores quaisquer em
:
Somando elas:
Essa matriz resultante também é triangular superior, já que o elemento abaixo da diagonal continua sendo zero. Assim, a soma de duas matrizes em
também está em
.
Passo 6
Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar uma matriz triangular superior
em
e um escalar
:
Multiplicando por
:
Essa matriz também é triangular superior, já que o elemento abaixo da diagonal permanece zero após a multiplicação. Portanto, qualquer múltiplo escalar de uma matriz em
também está em
.
Resposta
Como
satisfaz todas as três propriedades requeridas (contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar), concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Sejam
pontos de
.
(a) Determine o ponto D , de modo que o quadriátero , nesta ordem, seja um paralelogramo.
(a) Determine o ponto D , de modo que o quadriátero
a) Uma reta
é tangente a uma elipse
num ponto
se
intersecta
só nesse ponto, ou seja
.
Mostre que
é um conjunto gerador do espaço vetorial
.