a) Uma reta
é tangente a uma elipse
num ponto
se
intersecta
só nesse ponto, ou seja
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz que uma reta
é tangente a uma elipse
em um ponto
da elipse se a reta
intersecta a elipse só nesse ponto, ou seja,
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com propriedades de elipses e retas tangentes. Para resolver ou entender isso, precisamos saber o que é uma elipse, o que significa uma reta ser tangente a ela, e como identificar pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma elipse. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de dois pontos fixos chamados focos é constante. Sua equação padrão no plano cartesiano é:
onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Agora, uma reta ser tangente à elipse significa que ela toca a elipse em exatamente um ponto. Geometricamente, isso significa que a reta não corta a elipse, mas apenas “encosta” nela em um ponto específico. Matematicamente, isso ocorre quando o sistema de equações formado pela equação da reta e da elipse tem exatamente uma solução.
Passo 4
Vamos considerar a equação geral de uma reta:
onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear.
Para encontrar os pontos de interseção entre a reta e a elipse, substituímos
na equação da elipse pela expressão da reta:
Passo 5
Essa equação resultante é uma equação quadrática em
. Para que a reta seja tangente à elipse, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero.
A forma geral da equação quadrática é:
e o discriminante é:
Para uma única interseção (tangência), precisamos que
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, calculamos
a partir da equação quadrática obtida e igualamos a zero. Resolvendo essa condição, podemos encontrar a relação entre
e
que garante que a reta seja tangente à elipse naquele ponto específico
.
Resposta
Uma reta
é tangente à elipse
no ponto
se a única interseção entre
e
é o ponto
, ou seja,
.