a) Uma reta é tangente a uma elipse num ponto se intersecta só nesse ponto, ou seja .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que uma reta é tangente a uma elipse em um ponto da elipse se a reta intersecta a elipse só nesse ponto, ou seja, . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com propriedades de elipses e retas tangentes. Para resolver ou entender isso, precisamos saber o que é uma elipse, o que significa uma reta ser tangente a ela, e como identificar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma elipse. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de dois pontos fixos chamados focos é constante. Sua equação padrão no plano cartesiano é:
onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Agora, uma reta ser tangente à elipse significa que ela toca a elipse em exatamente um ponto. Geometricamente, isso significa que a reta não corta a elipse, mas apenas “encosta” nela em um ponto específico. Matematicamente, isso ocorre quando o sistema de equações formado pela equação da reta e da elipse tem exatamente uma solução.

Passo 4

Vamos considerar a equação geral de uma reta:
onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.
Para encontrar os pontos de interseção entre a reta e a elipse, substituímos na equação da elipse pela expressão da reta:

Passo 5

Essa equação resultante é uma equação quadrática em . Para que a reta seja tangente à elipse, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero.
A forma geral da equação quadrática é:
e o discriminante é:
Para uma única interseção (tangência), precisamos que .

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, calculamos a partir da equação quadrática obtida e igualamos a zero. Resolvendo essa condição, podemos encontrar a relação entre e que garante que a reta seja tangente à elipse naquele ponto específico .

Resposta

Uma reta é tangente à elipse no ponto se a única interseção entre e é o ponto , ou seja, .

Exercícios relacionados

Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de (conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
© formado por todas as matrizes triangulares superiores.
Mostre que é um conjunto gerador do espaço vetorial .
Use o método das linhas ou das colunas (como for apropriado) para encontrar
(a) a primeira linha de .
(b) a terceira linha de .
© a segunda coluna de .
(d) a primeira coluna de .
(e) a terceira linha de .
(f) a terceira coluna de .