Considere o operador linear T sobre P2® definido por:
Mostre que o operador T não é injetor usando os conceitos de autovalor e autovetor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o operador linear definido sobre não é injetor. Estamos lidando com espaços vetoriais e operadores lineares, mais especificamente usando os conceitos de autovalores e autovetores para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um operador ser injetor. Um operador linear é injetor se, sempre que , então . Ou seja, o único vetor que mapeia para o vetor zero é o próprio vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Dado um operador linear , um escalar é chamado de autovalor se existir um vetor não nulo tal que:
O vetor é chamado de autovetor correspondente a .

Passo 4

Para mostrar que não é injetor, podemos encontrar um autovalor zero, ou seja, , com um autovetor não nulo . Isso implicaria que , com , o que mostra que não é injetor.

Passo 5

Vamos aplicar isso ao nosso operador . Considerando , queremos encontrar polinômios não nulos em tais que .

Passo 6

Suponha que exista um polinômio em tal que . Vamos calcular :
Primeiro, calculemos as derivadas:
Agora, substituímos na expressão de :
Expandindo:
Organizando os termos:

Passo 7

Queremos que , ou seja:
Isso implica que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, implica .
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:

Passo 9

Com e , o polinômio , onde é uma constante. Vamos verificar :
Então, qualquer polinômio constante satisfaz , mesmo que .

Resposta

Como existe um polinômio não nulo tal que , o operador não é injetor.

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Calcule , em que .
Dica: Diagonalize a matriz .
Seja
Encontre uma base ortonormal de formada por autovetores de .
Considere tal que e . Determine as leis de e de .
Em cada item abaixo, determine a posição relativa de e . Caso e sejam transversais, determine se são ortogonais e exiba o ponto de intersecção.
© $r:\left{ \quad ; \quad \pi: x+y=2\right. .