Considere o operador linear T sobre P2® definido por:
T(p(x))=(1+x) p^prime(x)+p^prime prime(x)
Mostre que o operador T não é injetor usando os conceitos de autovalor e autovetor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o operador linear definido sobre não é injetor. Estamos lidando com espaços vetoriais e operadores lineares, mais especificamente usando os conceitos de autovalores e autovetores para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um operador ser injetor. Um operador linear é injetor se, sempre que , então . Ou seja, o único vetor que mapeia para o vetor zero é o próprio vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Dado um operador linear T(v) = lambda v , um escalar é chamado de autovalor se existir um vetor não nulo tal que:
O vetor é chamado de autovetor correspondente a .

Passo 4

Para mostrar que não é injetor, podemos encontrar um autovalor zero, ou seja, , com um autovetor não nulo . Isso implicaria que , com , o que mostra que não é injetor.

Passo 5

Vamos aplicar isso ao nosso operador . Considerando , queremos encontrar polinômios não nulos em tais que .

Passo 6

Suponha que exista um polinômio p'(x) = 2a x + b em p''(x) = 2a tal que T(p(x)) = (1 + x)(2a x + b) + 2a . Vamos calcular T(p(x)) = (1)(2a x + b) + x(2a x + b) + 2a = 2a x + b + 2a x^2 + b x + 2a :
Primeiro, calculemos as derivadas:
T(p(x)) = 2a x^2 + (2a + b) x + (b + 2a)
Agora, substituímos na expressão de :
Expandindo:
Organizando os termos:

Passo 7

Queremos que 2a x^2 + (2a + b) x + (b + 2a) = 0 , ou seja:
2a = 0 2a + b = 0 b + 2a = 0
Isso implica que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 implica b + 0 = 0 Rightarrow b = 0 .
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:

Passo 9

Com T(c) = (1 + x)(0) + 0 = 0 e , o polinômio , onde é uma constante. Vamos verificar :
Então, qualquer polinômio constante satisfaz , mesmo que .

Resposta

Como existe um polinômio não nulo tal que , o operador não é injetor.

Exercícios relacionados