Considere o operador linear T sobre P2® definido por:
Mostre que o operador T não é injetor usando os conceitos de autovalor e autovetor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o operador linear definido sobre não é injetor. Estamos lidando com espaços vetoriais e operadores lineares, mais especificamente usando os conceitos de autovalores e autovetores para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um operador ser injetor. Um operador linear é injetor se, sempre que , então . Ou seja, o único vetor que mapeia para o vetor zero é o próprio vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Dado um operador linear , um escalar é chamado de autovalor se existir um vetor não nulo tal que:
O vetor é chamado de autovetor correspondente a .
Passo 4
Para mostrar que não é injetor, podemos encontrar um autovalor zero, ou seja, , com um autovetor não nulo . Isso implicaria que , com , o que mostra que não é injetor.
Passo 5
Vamos aplicar isso ao nosso operador . Considerando , queremos encontrar polinômios não nulos em tais que .
Passo 6
Suponha que exista um polinômio em tal que . Vamos calcular :
Primeiro, calculemos as derivadas:
Agora, substituímos na expressão de :
Expandindo:
Organizando os termos:
Passo 7
Queremos que , ou seja:
Isso implica que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, implica .
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:
Passo 9
Com e , o polinômio , onde é uma constante. Vamos verificar :
Então, qualquer polinômio constante satisfaz , mesmo que .
Resposta
Como existe um polinômio não nulo tal que , o operador não é injetor.