Em cada item abaixo, determine a posição relativa dos planos pi1 e pi2. Caso os planos sejam transversais, determine se são ortogonais e escreva uma equação vetorial da reta r=pi1 cap pi2.
(b) pi1: X=(4,2,4)+lambda(1,1,2)+mu(3,3,1) e pi2: X=(3,0,0)+lambda(1,1,0)+mu(0,1,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir como dois planos, chamados pi1 e pi2, estão posicionados em relação um ao outro. A gente vai ver se eles são paralelos, se cortam de forma ortogonal (ou seja, formando um ângulo de 90 graus) ou se não são nem paralelos nem perpendiculares. Se eles cortarem, também vamos escrever a equação da reta que é a interseção deles. Para resolver isso, vamos usar vetores e conceitos de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores normais de cada plano. O vetor normal é um vetor que é perpendicular ao plano. Para encontrar o vetor normal de um plano dado pelas suas equações paramétricas, a gente faz o produto vetorial dos vetores diretores do plano.
Para o plano pi1:
  • Vetor diretor v1 = (1,1,2)
  • Vetor diretor v2 = (3,3,1)
Calculando o produto vetorial:
n1 = v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & 2 3 & 3 & 1 = (-5, 5, 0)
Para o plano pi2:
  • Vetor diretor v1' = (1,1,0)
  • Vetor diretor v2' = (0,1,4)
Calculando o produto vetorial:
n2 = v1' times v2' = (4, -4, 1)

Passo 3

Agora, vamos ver se os planos são paralelos. Para isso, os vetores normais dos planos precisam ser múltiplos um do outro. Ou seja, se n1 = k n2 para algum escalar k, os planos são paralelos.
Comparando:
n1 = (-5, 5, 0) e n2 = (4, -4, 1)
Não existe um valor de k que satisfaça todas as componentes, então os planos não são paralelos.

Passo 4

Como os planos não são paralelos, eles devem se cortar em uma reta, a menos que sejam coincidentes (o que não é o caso aqui). Agora, vamos verificar se essa interseção é ortogonal. Para isso, usamos o produto escalar dos vetores normais:
n1 cdot n2 = (-5)(4) + (5)(-4) + (0)(1) = -20 - 20 + 0 = -40
Como o produto escalar não é zero, os planos não são ortogonais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação vetorial da reta de interseção r = pi1 cap pi2. Para isso, precisamos de um ponto que está nos dois planos e da direção dessa reta.
A direção da reta é o produto vetorial dos vetores normais:
v = n1 times n2 = (-5,5,0) times (4,-4,1) = (5,5,0)
Podemos simplificar para (1,1,0).
Para encontrar um ponto na reta, resolvemos o sistema das equações dos planos. Convertendo as equações paramétricas para a forma cartesiana:
Para pi1:
y - x + 2 = 0 Rightarrow y = x - 2
Para pi2:
4x - 4y + z = 12
Substituindo y = x - 2 na segunda equação:
4x - 4(x - 2) + z = 12 Rightarrow 8 + z = 12 Rightarrow z = 4
Escolhendo x = 0, temos y = -2 e z = 4. Então, um ponto na reta é (0, -2, 4).

Resposta

A reta de interseção é r = (0, -2, 4) + t, (1, 1, 0), onde t in R.

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