Verificar se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz P que diagonaliza a matriz dada A e calcule P^-1 A P.
(d) A=(ccc2 & 3 & -1 0 & 1 & -4 0 & 0 & 3)

Passo 1

Então, a gente tem a matriz 2 & 3 & -1 0 & 1 & -4 0 & 0 & 3 e queremos descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Se for diagonalizável, também vamos achar uma matriz que faça a diagonalização e calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = 3 . Como é uma matriz triangular (as entradas abaixo da diagonal são zero), os autovalores são os elementos da diagonal principal. Assim, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses autovalores são distintos. Aqui, todos os três autovalores são diferentes entre si. Isso é bom porque uma matriz com autovalores distintos é sempre diagonalizável. Ou seja, já sabemos que é diagonalizável!

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos procurar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada (A - lambda I) v = 0 , precisamos resolver a equação:
onde é a matriz identidade e é o autovetor.

Passo 5

Vamos começar com A - 2I = 0 & 3 & -1 0 & -1 & -4 0 & 0 & 1 :
0v1 + 3v2 - v3 = 0 0v1 - v2 - 4v3 = 0 0v1 + 0v2 + v3 = 0
Resolvendo v1 = 1 0 0 , obtemos as seguintes equações:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, resulta em . A primeira equação já está satisfeita. Portanto, o autovetor é:

Passo 6

Agora, para A - I = 1 & 3 & -1 0 & 0 & -4 0 & 0 & 2 :
v1 + 3v2 - v3 = 0 0v1 + 0v2 -4v3 = 0 0v1 + 0v2 + 2v3 = 0
Resolvendo v2 = -3 1 0 , temos:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, continua , então é livre. Da primeira equação, . Escolhendo , o autovetor fica:

Passo 7

Por fim, para A - 3I = -1 & 3 & -1 0 & -2 & -4 0 & 0 & 0 :
- v1 + 3v2 - v3 = 0 0v1 -2v2 -4v3 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0
Resolvendo - v1 + 3(-2v3) - v3 = -v1 -7v3 = 0 Rightarrow v1 = -7v3 , temos:
v3 = -7 -2 1
Da segunda equação, leva a . Substituindo na primeira equação:
Escolhendo , o autovetor fica:

Passo 8

Agora que temos os autovetores, vamos montar a matriz P = 1 & -3 & -7 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 com eles como colunas:
Essa matriz vai diagonalizar .

Passo 9

Para completar, vamos calcular P^-1 A P = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 . Como é invertível e composta pelos autovetores de , o produto será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

Sim, a matriz P = 1 & -3 & -7 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 é diagonalizável. Uma matriz que diagonaliza P^-1 A P = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 é
E temos

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