Verificar se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz que diagonaliza a matriz dada e calcule .
(d)

Passo 1

Então, a gente tem a matriz e queremos descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Se for diagonalizável, também vamos achar uma matriz que faça a diagonalização e calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Como é uma matriz triangular (as entradas abaixo da diagonal são zero), os autovalores são os elementos da diagonal principal. Assim, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses autovalores são distintos. Aqui, todos os três autovalores são diferentes entre si. Isso é bom porque uma matriz com autovalores distintos é sempre diagonalizável. Ou seja, já sabemos que é diagonalizável!

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos procurar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , precisamos resolver a equação:
onde é a matriz identidade e é o autovetor.

Passo 5

Vamos começar com :
Resolvendo , obtemos as seguintes equações:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, resulta em . A primeira equação já está satisfeita. Portanto, o autovetor é:

Passo 6

Agora, para :
Resolvendo , temos:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, continua , então é livre. Da primeira equação, . Escolhendo , o autovetor fica:

Passo 7

Por fim, para :
Resolvendo , temos:
Da segunda equação, leva a . Substituindo na primeira equação:
Escolhendo , o autovetor fica:

Passo 8

Agora que temos os autovetores, vamos montar a matriz com eles como colunas:
Essa matriz vai diagonalizar .

Passo 9

Para completar, vamos calcular . Como é invertível e composta pelos autovetores de , o produto será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável. Uma matriz que diagonaliza é
E temos

Exercícios relacionados

Seja uma matriz triangular superior, com todos os seus elementos acima da diagonal principal distintos e não nulos
Qual é o polinômio minimal de ?
Em cada item abaixo, determine a posição relativa dos planos e . Caso os planos sejam transversais, determine se são ortogonais e escreva uma equação vetorial da reta .
(b) e .
Dada a transformação linear , tal que e , calcular em função de u e v:
a) Determinar a transformação linear tal que e .
b) Encontrar tal que .