Verificar se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz que diagonaliza a matriz dada e calcule .
(d)
Passo 1
Então, a gente tem a matriz 2 & 3 & -1 0 & 1 & -4 0 & 0 & 3 e queremos descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Se for diagonalizável, também vamos achar uma matriz que faça a diagonalização e calcular .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = 3 . Como é uma matriz triangular (as entradas abaixo da diagonal são zero), os autovalores são os elementos da diagonal principal. Assim, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses autovalores são distintos. Aqui, todos os três autovalores são diferentes entre si. Isso é bom porque uma matriz com autovalores distintos é sempre diagonalizável. Ou seja, já sabemos que é diagonalizável!
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos procurar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada (A - lambda I) v = 0 , precisamos resolver a equação:
Da segunda equação, leva a . Substituindo na primeira equação:
Escolhendo , o autovetor fica:
Passo 8
Agora que temos os autovetores, vamos montar a matriz P = 1 & -3 & -7 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 com eles como colunas:
Essa matriz vai diagonalizar .
Passo 9
Para completar, vamos calcular P^-1 A P = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 . Como é invertível e composta pelos autovetores de , o produto será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
Sim, a matriz P = 1 & -3 & -7 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 é diagonalizável. Uma matriz que diagonaliza P^-1 A P = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 é