Verificar se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz que diagonaliza a matriz dada e calcule .
(d)
Passo 1
Então, a gente tem a matriz e queremos descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Se for diagonalizável, também vamos achar uma matriz que faça a diagonalização e calcular .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Como é uma matriz triangular (as entradas abaixo da diagonal são zero), os autovalores são os elementos da diagonal principal. Assim, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses autovalores são distintos. Aqui, todos os três autovalores são diferentes entre si. Isso é bom porque uma matriz com autovalores distintos é sempre diagonalizável. Ou seja, já sabemos que é diagonalizável!
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos procurar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , precisamos resolver a equação:
onde é a matriz identidade e é o autovetor.
Passo 5
Vamos começar com :
Resolvendo , obtemos as seguintes equações:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, resulta em . A primeira equação já está satisfeita. Portanto, o autovetor é:
Passo 6
Agora, para :
Resolvendo , temos:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, continua , então é livre. Da primeira equação, . Escolhendo , o autovetor fica:
Passo 7
Por fim, para :
Resolvendo , temos:
Da segunda equação, leva a . Substituindo na primeira equação:
Escolhendo , o autovetor fica:
Passo 8
Agora que temos os autovetores, vamos montar a matriz com eles como colunas:
Essa matriz vai diagonalizar .
Passo 9
Para completar, vamos calcular . Como é invertível e composta pelos autovetores de , o produto será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
Sim, a matriz é diagonalizável. Uma matriz que diagonaliza é