Determinar a equação e identificar o tipo de cônica que representa a trajetória de um ponto que se move no plano de maneira que sua distância ao eixo y é sempre igual à duas vezes a sua distância ao ponto F=(3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a equação e identificar o tipo de cônica da trajetória de um ponto que se move no plano. A condição dada é que a distância desse ponto ao eixo y é sempre igual a duas vezes a sua distância ao ponto .
Aqui, estamos lidando com cônicas, que são curvas como parábolas, elipses e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de cônicas baseada na relação entre distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a distância do ponto d = raiz(x - 3)^2 + (y - 2)^2 ao eixo y é igual a duas vezes a distância dele ao ponto x = 2 cdot raiz(x - 3)^2 + (y - 2)^2 .
A distância de ao eixo y é simplesmente o valor absoluto da coordenada x, ou seja, . Como estamos trabalhando com equações, podemos considerar positivo, então a distância é .
A distância de ao ponto é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Segundo o enunciado, essa distância ao eixo y deve ser duas vezes a distância ao ponto :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a equação da cônica.
Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada:
x = 2 cdot raiz(x - 3)^2 + (y - 2)^2
Dividindo ambos os lados por 2:
x2 = raiz(x - 3)^2 + (y - 2)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2
Simplificando:
x^24 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2

Passo 4

Vamos expandir os termos no lado direito da equação:
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
(y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4
Substituindo de volta na equação:
x^24 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4
Simplificando os termos constantes:
x^24 = x^2 - 6x + y^2 - 4y + 13

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado:
x^24 - x^2 + 6x - y^2 + 4y - 13 = 0
Combinar os termos -3x^24 + 6x - y^2 + 4y - 13 = 0 :
-3x^2 + 24x - 4y^2 + 16y - 52 = 0
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar a fração:

Passo 6

Vamos rearranjar os termos para facilitar a identificação da cônica:
-3x^2 + 24x - 4y^2 + 16y = 52
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis -3x^2 + 24x = -3(x^2 - 8x) e -3(x^2 - 8x + 16) + 48 = -3(x - 4)^2 + 48 .
Para -4y^2 + 16y = -4(y^2 - 4y) :
-4(y^2 - 4y + 4) + 16 = -4(y - 2)^2 + 16
-3(x - 4)^2 + 48 -4(y - 2)^2 + 16 = 52
Para -3(x - 4)^2 -4(y - 2)^2 + 64 = 52 :
-3(x - 4)^2 -4(y - 2)^2 = -12
(x - 4)^24 + (y - 2)^23 = 1
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Subtraindo 64 de ambos os lados:
Dividindo por -12 para simplificar:

Passo 7

Chegamos à forma padrão da equação:
(x - 4)^24 + (y - 2)^23 = 1
Essa é a equação de uma elipse, pois os coeficientes das frações são positivos e diferentes, indicando que os eixos não são iguais.

Resposta

A equação da cônica é:
(x - 4)^24 + (y - 2)^23 = 1
E o tipo de cônica é uma elipse.

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