Determinar a equação e identificar o tipo de cônica que representa a trajetória de um ponto que se move no plano de maneira que sua distância ao eixo y é sempre igual à duas vezes a sua distância ao ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a equação e identificar o tipo de cônica da trajetória de um ponto que se move no plano. A condição dada é que a distância desse ponto ao eixo y é sempre igual a duas vezes a sua distância ao ponto .
Aqui, estamos lidando com cônicas, que são curvas como parábolas, elipses e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de cônicas baseada na relação entre distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a distância do ponto ao eixo y é igual a duas vezes a distância dele ao ponto .
A distância de ao eixo y é simplesmente o valor absoluto da coordenada x, ou seja, . Como estamos trabalhando com equações, podemos considerar positivo, então a distância é .
A distância de ao ponto é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Segundo o enunciado, essa distância ao eixo y deve ser duas vezes a distância ao ponto :
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a equação da cônica.
Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 4
Vamos expandir os termos no lado direito da equação:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado:
Combinar os termos :
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar a fração:
Passo 6
Vamos rearranjar os termos para facilitar a identificação da cônica:
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e .
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Subtraindo 64 de ambos os lados:
Dividindo por -12 para simplificar:
Passo 7
Chegamos à forma padrão da equação:
Essa é a equação de uma elipse, pois os coeficientes das frações são positivos e diferentes, indicando que os eixos não são iguais.