Seja uma matriz triangular superior, com todos os seus elementos acima da diagonal principal distintos e não nulos
Qual é o polinômio minimal de ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado do exercício. Temos uma matriz de ordem que é triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Além disso, os elementos acima da diagonal principal () são distintos e não nulos. O objetivo é encontrar o polinômio minimal de .
Para resolver este problema, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear, como polinômio minimal, valores próprios e matrizes triangulares superiores. Vamos abordar cada um desses conceitos conforme avançamos na resolução.
Passo 2
Primeiramente, vamos relembrar o que é um polinômio minimal. O polinômio minimal de uma matriz é o polinômio de menor grau tal que . Além disso, ele divide qualquer outro polinômio que satisfaça essa propriedade.
Como é uma matriz triangular superior, sabemos que seus valores próprios são exatamente os elementos da diagonal principal. Neste caso, os valores próprios são e .
Passo 3
Sabendo disso, o polinômio característico de é dado por:
Esse polinômio tem raízes nos valores próprios de e determina as propriedades espectrais da matriz.
Passo 4
Para encontrar o polinômio minimal, devemos verificar a multiplicidade de cada valor próprio. No caso de matrizes diagonais ou triangulares superiores com valores próprios distintos, cada valor próprio tem multiplicidade algébrica igual a 1, o que implica que o polinômio minimal é igual ao polinômio característico.
Como os elementos acima da diagonal () são distintos e não nulos, isso garante que a matriz é diagonalizável, ou seja, possui uma base de vetores próprios.
Passo 5
Portanto, concluímos que o polinômio minimal de é o mesmo que o polinômio característico, já que todos os valores próprios são simples e a matriz é diagonalizável.