Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de Mn times n :
(b) O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n times n tais que det(A)=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto de todas as matrizes de tamanho que têm determinante igual a zero, ou seja, , forma um subespaço do espaço das matrizes . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Subespaço, que nos ajuda a verificar se um conjunto é, de fato, um subespaço vetorial. Precisamos verificar três condições: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeira condição: O conjunto contém o vetor zero
O vetor zero no espaço das matrizes é a matriz zero, onde todos os elementos são zero. Vamos verificar se a matriz zero está no nosso conjunto.
Sabemos que o determinante da matriz zero é zero, ou seja, . Portanto, a matriz zero pertence ao conjunto.

Passo 3

Segunda condição: Fechamento sob adição
Agora, precisamos verificar se a soma de duas matrizes do nosso conjunto também pertence ao conjunto. Ou seja, se e são matrizes tais que e , será que ?
Infelizmente, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, considere duas matrizes singulares (determinante zero) cuja soma resulta em uma matriz não singular (determinante diferente de zero). Isso mostra que o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Terceira condição: Fechamento sob multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz do conjunto por um escalar qualquer, o resultado ainda pertence ao conjunto. Se está no conjunto, então para qualquer escalar , precisamos que .
Sabemos que . Como , isso implica que , independentemente do valor de . Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Não, o conjunto de todas as matrizes de tamanho com não é um subespaço de .

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