Use o Teorema de Subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de
:
(b) O conjunto de todas as matrizes
de tamanho
tais que
.
(b) O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto de todas as matrizes
de tamanho
que têm determinante igual a zero, ou seja,
, forma um subespaço do espaço das matrizes
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Subespaço, que nos ajuda a verificar se um conjunto é, de fato, um subespaço vetorial. Precisamos verificar três condições: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeira condição: O conjunto contém o vetor zero
O vetor zero no espaço das matrizes
é a matriz zero, onde todos os elementos são zero. Vamos verificar se a matriz zero está no nosso conjunto.
Sabemos que o determinante da matriz zero é zero, ou seja,
. Portanto, a matriz zero pertence ao conjunto.
Passo 3
Segunda condição: Fechamento sob adição
Agora, precisamos verificar se a soma de duas matrizes do nosso conjunto também pertence ao conjunto. Ou seja, se
e
são matrizes tais que
e
, será que
?
Infelizmente, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, considere duas matrizes singulares (determinante zero) cuja soma resulta em uma matriz não singular (determinante diferente de zero). Isso mostra que o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Terceira condição: Fechamento sob multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz do conjunto por um escalar qualquer, o resultado ainda pertence ao conjunto. Se
está no conjunto, então para qualquer escalar
, precisamos que
.
Sabemos que
. Como
, isso implica que
, independentemente do valor de
. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Não, o conjunto de todas as matrizes
de tamanho
com
não é um subespaço de
.