Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas r e s dadas. Caso r e s sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso r e s sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(d) r: x+32=y-14=z ; s:2 x-y+7=0 x+y-6 z=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas, 2x - y + 7 = 0 x + y - 6z = -2 e , definidas assim:
A missão é descobrir como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra. Elas são reversas, ou seja, não se cruzam e não são paralelas? Se forem, são também ortogonais? Se forem concorrentes, que tal verificar se são perpendiculares e encontrar o ponto onde se encontram.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as equações das retas.
A reta x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t está na forma paramétrica. Vamos escrever isso de um jeito mais claro. Podemos usar um parâmetro :
Assim, é parametrizada por .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta 2x - y + 7 = 0 x + y - 6z = -2 . Ela está definida por um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a forma paramétrica de . Podemos resolver para duas variáveis em função da terceira, digamos, expressar e em função de .

Passo 4

Resolvendo o sistema para x = 2z - 3 y = 4z + 1 z = z e x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t :
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta na expressão para :
Então, a parametrização de fica:
Podemos usar um parâmetro (mesmo que seja diferente do anterior) para representar :

Passo 5

Observando as parametrizações de x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t e x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t :
Para :
Para :
Viu só? As duas retas têm a mesma parametrização! Isso significa que elas são, na verdade, a mesma reta.

Passo 6

Se as retas são a mesma, elas são coincidência, ou seja, concorrentemente coincidentes. Isso significa que todo ponto de uma reta está na outra.

Passo 7

Agora, como elas são a mesma reta, vamos verificar se elas são perpendiculares a si mesmas. Na geometria euclidiana, uma reta não é perpendicular a si mesma, pois o ângulo entre uma reta e ela mesma é zero, não 90 graus.

Resposta

As retas e coincidem, ou seja, são a mesma reta. Portanto, são concorrentes, mas não são perpendiculares.

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