Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas, e , definidas assim:
A missão é descobrir como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra. Elas são reversas, ou seja, não se cruzam e não são paralelas? Se forem, são também ortogonais? Se forem concorrentes, que tal verificar se são perpendiculares e encontrar o ponto onde se encontram.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as equações das retas.
A reta está na forma paramétrica. Vamos escrever isso de um jeito mais claro. Podemos usar um parâmetro :
Assim, é parametrizada por .
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta 2x - y + 7 = 0 x + y - 6z = -2 . Ela está definida por um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a forma paramétrica de . Podemos resolver para duas variáveis em função da terceira, digamos, expressar e em função de .
Passo 4
Resolvendo o sistema para x = 2z - 3 y = 4z + 1 z = z e x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t :
Primeira equação: ⇒
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta na expressão para :
Então, a parametrização de fica:
Podemos usar um parâmetro (mesmo que seja diferente do anterior) para representar :
Passo 5
Observando as parametrizações de x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t e x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t :
Para :
Para :
Viu só? As duas retas têm a mesma parametrização! Isso significa que elas são, na verdade, a mesma reta.
Passo 6
Se as retas são a mesma, elas são coincidência, ou seja, concorrentemente coincidentes. Isso significa que todo ponto de uma reta está na outra.
Passo 7
Agora, como elas são a mesma reta, vamos verificar se elas são perpendiculares a si mesmas. Na geometria euclidiana, uma reta não é perpendicular a si mesma, pois o ângulo entre uma reta e ela mesma é zero, não 90 graus.
Resposta
As retas e coincidem, ou seja, são a mesma reta. Portanto, são concorrentes, mas não são perpendiculares.