Sejam
uma base de
.
(a) Mostre que F é uma base de
(a) Mostre que F é uma base de
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o conjunto
é uma base do espaço vetorial
. Primeiro, vamos lembrar que uma base precisa satisfazer duas coisas: os vetores têm que ser linharmente independentes e gerar todo o espaço
. Pra isso, vamos verificar esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se os vetores de
são linharmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Vamos montar uma equação:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Como
é uma base, os vetores são lineares independentes. Então, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Resolvendo:
Como a única solução é
, os vetores são linharmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos ver se
gera todo o espaço
. Como temos três vetores em
, e eles são linharmente independentes, eles automaticamente geram o espaço. Isso acontece porque, em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de três vetores linharmente independentes forma uma base.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base de
.