Sejam uma base de .
(a) Mostre que F é uma base de

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto é uma base do espaço vetorial . Primeiro, vamos lembrar que uma base precisa satisfazer duas coisas: os vetores têm que ser linharmente independentes e gerar todo o espaço . Pra isso, vamos verificar esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os vetores de são linharmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Vamos montar uma equação:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Como é uma base, os vetores são lineares independentes. Então, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Resolvendo:
Como a única solução é , os vetores são linharmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos ver se gera todo o espaço . Como temos três vetores em , e eles são linharmente independentes, eles automaticamente geram o espaço. Isso acontece porque, em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de três vetores linharmente independentes forma uma base.

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

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(d) .
Suponha um sistema de coordenadas ortogonais. Considere o ponto e o vetor .
(b) Determine , onde
a) Considere as retas e , onde e . Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por e são