Sejam E=(u, v, w) uma base de V^3 e F=(nu-u, u-w, u).
(a) Mostre que F é uma base de V

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto é uma base do espaço vetorial . Primeiro, vamos lembrar que uma base precisa satisfazer duas coisas: os vetores têm que ser linharmente independentes e gerar todo o espaço . Pra isso, vamos verificar esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os vetores de a(nu - u) + b(u - w) + c u = 0 são linharmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Vamos montar uma equação:
anu - a u + b u - b w + c u = 0
Simplificando:
anu + (-a + b + c)u - b w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
a = 0
Como -a + b + c = 0 é uma base, os vetores são lineares independentes. Então, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
-b = 0
a = 0
-b = 0 Rightarrow b = 0
Resolvendo:
-0 + 0 + c = 0 Rightarrow c = 0
Como a única solução é , os vetores são linharmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos ver se gera todo o espaço . Como temos três vetores em , e eles são linharmente independentes, eles automaticamente geram o espaço. Isso acontece porque, em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de três vetores linharmente independentes forma uma base.

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

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