Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir como duas retas, chamadas de e , estão posicionadas uma em relação à outra no espaço. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das posições relativas entre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como retas paralelas, concorrentes (que se cruzam), reversas (que não são nem paralelas nem concorrentes) e também conceitos de ortogonalidade e perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as equações das retas e . Geralmente, retas no espaço são dadas na forma paramétrica ou vetorial. Suponhamos que tenhamos as equações paramétricas das retas:
Aqui, e são pontos pelas quais passam as retas, e e são os vetores diretores das retas e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos determinar a posição relativa das retas. Existem três possibilidades:
Retas Paralelas: Se os vetores diretores são múltiplos um do outro, ou seja, existe um número tal que . Além disso, se as retas não compartilham nenhum ponto em comum, elas são paralelas.
Retas Concorrentes: Se existe um ponto que pertence a ambas as retas, ou seja, se conseguimos encontrar valores de parâmetros e que satisfazem simultaneamente as equações das retas.
Retas Reversas: Se as retas não são nem paralelas nem concorrentes, elas são chamadas de reversas (ou skew).
Passo 4
Se as retas forem reversas, queremos verificar se elas são ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar dos vetores diretores:
Se o produto escalar for zero, as retas são ortogonais.
Passo 5
Se as retas forem concorrentes, além de verificar se são perpendiculares, também precisamos determinar o ponto de intersecção. Para encontrar o ponto de interseção, resolvemos o sistema de equações formado pelas equações das retas.
Passo 6
Vamos exemplificar com um caso específico. Suponha que temos as seguintes retas:
Primeiro, identificamos os vetores diretores:
Passo 7
Vamos verificar se as retas são paralelas:
Procuramos um número tal que . Isso nos daria:
Como não existe um único valor de que satisfaça todas as equações, as retas não são paralelas.
Passo 8
Vamos verificar se as retas são concorrentes, ou seja, se existe um ponto comum. Igualamos as equações paramétricas:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Verificando na segunda equação:
Tudo confere, então as retas são concorrentes e se intersectam no ponto correspondente a .
Passo 9
Agora, vamos verificar se as retas são perpendiculares. Calculamos o produto escalar dos vetores diretores:
Como o produto escalar não é zero, as retas não são perpendiculares.
Resposta
As retas e são concorrentes, ou seja, elas se intersectam no ponto . Além disso, elas não são perpendiculares.