Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta r.
(iii) r é a intersecção dos planos de equações x+2 y-3 z=0 e 5 x+3 y-2 z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta x + 2y - 3z = 0 5x + 3y - 2z = 4 , que é a interseção de dois planos dados pelas equações:
Vamos usar conceitos de geometria analítica para achar essas equações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a interseção de dois planos é sempre uma reta, desde que os planos não sejam paralelos. Para encontrar as equações paramétricas dessa reta, vamos resolver o sistema de equações dado.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para expressar duas das variáveis em função da terceira. Vamos escolher como parâmetro, ou seja, . Assim, vamos encontrar e em termos de .

Passo 4

Substituindo x + 2y - 3t = 0 Rightarrow x = -2y + 3t na primeira equação:
5(-2y + 3t) + 3y - 2t = 4
Agora, substituímos -10y + 15t + 3y - 2t = 4 Rightarrow -7y + 13t = 4 na segunda equação:
-7y = 4 - 13t Rightarrow y = 13t - 47
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora que temos x = -2( 13t - 47 ) + 3t = -26t + 87 + 21t7 = -26t + 8 + 21t7 = -5t + 87 em termos de , podemos substituir de volta na expressão de :

Resposta

As equações paramétricas da reta x = dfrac8 - 5t7 y = dfrac13t - 47 z = t são:
onde é o parâmetro real.

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