Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P=(1,-2,-1) e intercepta as retas reversas r:lx=z-1 y=2 z-3 e s:lx=z-2 y=-z+1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que intercepta duas outras retas dadas, que vamos chamar de e . Para fazer isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional e como encontrar uma reta que intersecciona outras duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas de uma reta. No espaço 3D, uma reta pode ser descrita por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. O parâmetro varia e nos dá todos os pontos da reta.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as retas r: x = z - 1 y = 2z - 3 e s: x = z - 2 y = -z + 1 que a reta que queremos encontrar deve interceptar. As equações das retas r: x = t - 1 y = 2t - 3 z = t e s: x = s - 2 y = -s + 1 z = s são dadas de forma paramétrica:
Vamos reescrever essas equações para deixar claro o parâmetro. Vamos chamar para a reta e para a reta . Assim, as equações ficam:

Passo 4

Queremos encontrar uma reta que passa por e intercepta as retas e . Isso significa que existem valores específicos de e onde a reta que buscamos toca as retas e .
Vamos supor que a reta que buscamos intercepta no ponto e no ponto . Então, precisamos encontrar e nas retas e respectivamente, de forma que , e estejam alinhados.

Passo 5

Para que Q = (t - 1, 2t - 3, t) , PQ = Q - P = (t - 1 - 1, 2t - 3 - (-2), t - (-1)) = (t - 2, 2t - 1, t + 1) e estejam alinhados, os vetores e devem ser colineares. Isso significa que existe um escalar múltiplo entre eles.
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na reta . Como está em , temos:
E , então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de R = (s - 2, -s + 1, s) na reta PR = R - P = (s - 2 - 1, -s + 1 - (-2), s - (-1)) = (s - 3, -s + 3, s + 1) :
E o vetor será:

Passo 7

Para PQ = k cdot PR e t - 2 = k(s - 3) 2t - 1 = k(-s + 3) t + 1 = k(s + 1) serem colineares, deve existir um escalar tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 8

Vamos resolver as equações duas a duas. Primeiro, da primeira e segunda equações:
t - 2 = k(s - 3) (1) 2t - 1 = k(-s + 3) (2)
Dividindo a equação (2) pela equação (1), temos:
2t - 1t - 2 = k(-s + 3)k(s - 3) = -s + 3s - 3 = -1
Então:
2t - 1 = - (t - 2) 2t - 1 = -t + 2 3t = 3 t = 1
Substituindo 1 - 2 = k(s - 3) -1 = k(s - 3) na equação (1):

Passo 9

Agora, da terceira equação:
t + 1 = k(s + 1) 1 + 1 = k(s + 1) 2 = k(s + 1)
Temos então:
-1 = k(s - 3) (a) 2 = k(s + 1) (b)
Vamos dividir a equação (a) pela equação (b):
-12 = k(s - 3)k(s + 1) = s - 3s + 1
Resolvendo para -1 (s + 1) = 2 (s - 3) - s - 1 = 2s - 6 -1 + 6 = 2s + s 5 = 3s s = 53 :

Passo 10

Agora, substituindo 2 = k(53 + 1) 2 = k(83) k = 2 cdot 38 = 68 = 34 na equação (b):

Passo 11

Com os valores de Q = (1 - 1, 2(1) - 3, 1) = (0, -1, 1) R = (53 - 2, -53 + 1, 53) = (-13, -23, 53) e , podemos encontrar os pontos e :

Passo 12

Agora, a direção da reta que queremos encontrar pode ser dada pelo vetor PQ = Q - P = (0 - 1, -1 - (-2), 1 - (-1)) = (-1, 1, 2) ou . Vamos usar :
Então, o vetor diretor é .

Resposta

As equações paramétricas da reta desejada são:
x = 1 - t y = -2 + t z = -1 + 2t
onde é o parâmetro real.

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