Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intercepta as retas reversas e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que intercepta duas outras retas dadas, que vamos chamar de e . Para fazer isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional e como encontrar uma reta que intersecciona outras duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas de uma reta. No espaço 3D, uma reta pode ser descrita por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. O parâmetro varia e nos dá todos os pontos da reta.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as retas e que a reta que queremos encontrar deve interceptar. As equações das retas e são dadas de forma paramétrica:
Vamos reescrever essas equações para deixar claro o parâmetro. Vamos chamar para a reta e para a reta . Assim, as equações ficam:

Passo 4

Queremos encontrar uma reta que passa por e intercepta as retas e . Isso significa que existem valores específicos de e onde a reta que buscamos toca as retas e .
Vamos supor que a reta que buscamos intercepta no ponto e no ponto . Então, precisamos encontrar e nas retas e respectivamente, de forma que , e estejam alinhados.

Passo 5

Para que , e estejam alinhados, os vetores e devem ser colineares. Isso significa que existe um escalar múltiplo entre eles.
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na reta . Como está em , temos:
E , então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de na reta :
E o vetor será:

Passo 7

Para e serem colineares, deve existir um escalar tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 8

Vamos resolver as equações duas a duas. Primeiro, da primeira e segunda equações:
Dividindo a equação (2) pela equação (1), temos:
Então:
Substituindo na equação (1):

Passo 9

Agora, da terceira equação:
Temos então:
Vamos dividir a equação (a) pela equação (b):
Resolvendo para :

Passo 10

Agora, substituindo na equação (b):

Passo 11

Com os valores de e , podemos encontrar os pontos e :

Passo 12

Agora, a direção da reta que queremos encontrar pode ser dada pelo vetor ou . Vamos usar :
Então, o vetor diretor é .

Resposta

As equações paramétricas da reta desejada são:
onde é o parâmetro real.

Exercícios relacionados

Dados o ponto e a reta ,
(a) determinar equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular a ;
(b) calcular a distância de a ;
© determinar o ponto simétrico de em relação a .
Duas partículas movimentam-se de acordo com as seguintes equações:
em que indica o tempo. Assinale a alternativa que contém uma afirmação verdadeira.
(A) Se , as trajetórias não se cruzam.
(B) Para todo , há colisão.
© Para todo , não há colisão.
(D) Para todo , as trajetórias se cruzam e para somente um valor de , há colisão.
(E) Se , as trajetórias se cruzam, mas não há colisão.
Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
Determinar uma equação geral do plano:
(a) que passa por e é paralelo aos vetores e ;
(b) que contém os pontos e e é perpendicular ao plano ;
© que contém a reta e é perpendicular ao plano ;
(d) que contém as retas e ;
(e) que contém as retas e ;
(f) que contém o ponto e a reta ;
(g) que é paralelo ao eixo dos e que contém os pontos e ;
(h) que é paralelo ao eixo dos e que contém os pontos e ;
(i) que é perpendicular ao eixo dos e que contém o ponto .