Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intercepta as retas reversas e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que intercepta duas outras retas dadas, que vamos chamar de e . Para fazer isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional e como encontrar uma reta que intersecciona outras duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas de uma reta. No espaço 3D, uma reta pode ser descrita por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. O parâmetro varia e nos dá todos os pontos da reta.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as retas r: x = z - 1 y = 2z - 3 e s: x = z - 2 y = -z + 1 que a reta que queremos encontrar deve interceptar. As equações das retas r: x = t - 1 y = 2t - 3 z = t e s: x = s - 2 y = -s + 1 z = s são dadas de forma paramétrica:
Vamos reescrever essas equações para deixar claro o parâmetro. Vamos chamar para a reta e para a reta . Assim, as equações ficam:
Passo 4
Queremos encontrar uma reta que passa por e intercepta as retas e . Isso significa que existem valores específicos de e onde a reta que buscamos toca as retas e .
Vamos supor que a reta que buscamos intercepta no ponto e no ponto . Então, precisamos encontrar e nas retas e respectivamente, de forma que , e estejam alinhados.
Passo 5
Para que Q = (t - 1, 2t - 3, t) , PQ = Q - P = (t - 1 - 1, 2t - 3 - (-2), t - (-1)) = (t - 2, 2t - 1, t + 1) e estejam alinhados, os vetores e devem ser colineares. Isso significa que existe um escalar múltiplo entre eles.
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na reta . Como está em , temos:
E , então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas de R = (s - 2, -s + 1, s) na reta PR = R - P = (s - 2 - 1, -s + 1 - (-2), s - (-1)) = (s - 3, -s + 3, s + 1) :
E o vetor será:
Passo 7
Para PQ = k cdot PR e t - 2 = k(s - 3) 2t - 1 = k(-s + 3) t + 1 = k(s + 1) serem colineares, deve existir um escalar tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 8
Vamos resolver as equações duas a duas. Primeiro, da primeira e segunda equações: