Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intercepta as retas reversas e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que intercepta duas outras retas dadas, que vamos chamar de e . Para fazer isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional e como encontrar uma reta que intersecciona outras duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas de uma reta. No espaço 3D, uma reta pode ser descrita por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. O parâmetro varia e nos dá todos os pontos da reta.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as retas e que a reta que queremos encontrar deve interceptar. As equações das retas e são dadas de forma paramétrica:
Vamos reescrever essas equações para deixar claro o parâmetro. Vamos chamar para a reta e para a reta . Assim, as equações ficam:
Passo 4
Queremos encontrar uma reta que passa por e intercepta as retas e . Isso significa que existem valores específicos de e onde a reta que buscamos toca as retas e .
Vamos supor que a reta que buscamos intercepta no ponto e no ponto . Então, precisamos encontrar e nas retas e respectivamente, de forma que , e estejam alinhados.
Passo 5
Para que , e estejam alinhados, os vetores e devem ser colineares. Isso significa que existe um escalar múltiplo entre eles.
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na reta . Como está em , temos:
E , então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas de na reta :
E o vetor será:
Passo 7
Para e serem colineares, deve existir um escalar tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 8
Vamos resolver as equações duas a duas. Primeiro, da primeira e segunda equações:
Dividindo a equação (2) pela equação (1), temos:
Então:
Substituindo na equação (1):
Passo 9
Agora, da terceira equação:
Temos então:
Vamos dividir a equação (a) pela equação (b):
Resolvendo para :
Passo 10
Agora, substituindo na equação (b):
Passo 11
Com os valores de e , podemos encontrar os pontos e :
Passo 12
Agora, a direção da reta que queremos encontrar pode ser dada pelo vetor ou . Vamos usar :