Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um ponto e uma reta definida por:
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, vetores direcionais e distância entre ponto e reta. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Determinar equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular a .
Primeiro, precisamos encontrar a reta que passa por e é perpendicular à reta . Para isso, vamos identificar o vetor diretor da reta . Olhando as equações paramétricas de , vemos que à medida que varia, os componentes de variam proporcionalmente a . Então, o vetor diretor de é:
Queremos uma reta que passa por e é perpendicular a . Isso significa que o vetor diretor de deve ser perpendicular a . Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Como precisamos de um vetor , podemos usar o vetor que vai de um ponto na reta até o ponto . Vamos escolher na reta , que nos dá o ponto .
O vetor é dado por:
Agora, verificamos se é perpendicular a :
Não é perpendicular, então precisamos encontrar outro vetor que seja perpendicular a . Vamos usar a condição do produto escalar:
Podemos escolher valores para e e resolver para . Por simplicidade, vamos escolher e :
Então, um vetor diretor possível é:
Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta que passa por e tem vetor diretor :
Passo 3
Parte (b): Calcular a distância de à reta .
A distância entre um ponto e uma reta no espaço pode ser calculada usando a fórmula:
Para encontrar o ponto simétrico de em relação à reta , precisamos primeiro encontrar o ponto na reta que está mais próximo de (isto é, onde a perpendicular passa por ). Depois, o ponto simétrico será uma reflexão de em relação a .
Já calculamos a distância e sabemos que o vetor nos ajuda a encontrar . Vamos usar a seguinte fórmula para encontrar :
Primeiro, calculamos :
E .
Então:
Agora, o ponto simétrico de em relação a é dado por:
Resposta
(a) As equações paramétricas da reta perpendicular a e que passa por são: