Dados o ponto A(3,4,-2) e a reta r:lx=1+lambda y=2-lambda z=4+2 lambda,
(a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r;
(b) calcular a distância de lambda a r;
© determinar o ponto simétrico de A em relação a r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um ponto r: x = 1 + lambda y = 2 - lambda z = 4 + 2lambda e uma reta definida por:
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, vetores direcionais e distância entre ponto e reta. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Determinar equações paramétricas da reta que passa por v = 1 -1 2 e é perpendicular a u cdot v = 0 .
Primeiro, precisamos encontrar a reta que passa por AB = 3 - 1 4 - 2 -2 - 4 = 2 2 -6 e é perpendicular à reta AB cdot v = (2)(1) + (2)(-1) + (-6)(2) = 2 - 2 - 12 = -12 neq 0 . Para isso, vamos identificar o vetor diretor da reta u cdot v = 0 Rightarrow u1(1) + u2(-1) + u3(2) = 0 . Olhando as equações paramétricas de 1(1) + 1(-1) + u3(2) = 0 Rightarrow 0 + 2u3 = 0 Rightarrow u3 = 0 , vemos que à medida que u = 1 1 0 varia, os componentes de s: x = 3 + t y = 4 + t z = -2 variam proporcionalmente a . Então, o vetor diretor de é:
Queremos uma reta que passa por e é perpendicular a . Isso significa que o vetor diretor de deve ser perpendicular a . Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Como precisamos de um vetor , podemos usar o vetor que vai de um ponto na reta até o ponto . Vamos escolher na reta , que nos dá o ponto .
O vetor é dado por:
Agora, verificamos se é perpendicular a :
Não é perpendicular, então precisamos encontrar outro vetor que seja perpendicular a . Vamos usar a condição do produto escalar:
Podemos escolher valores para e e resolver para . Por simplicidade, vamos escolher e :
Então, um vetor diretor possível é:
Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta que passa por e tem vetor diretor :

Passo 3

Parte (b): Calcular a distância de d = | AP times v || v | à reta AP = 1 - 3 2 - 4 4 - (-2) = -2 -2 6 .
A distância entre um ponto v = 1 -1 2 e uma reta AP times v = i & j & k -2 & -2 & 6 1 & -1 & 2 = i((-2)(2) - (6)(-1)) - j((-2)(2) - (6)(1)) + k((-2)(-1) - (-2)(1)) no espaço pode ser calculada usando a fórmula:
= i(-4 + 6) - j(-4 - 6) + k(2 + 2)
Onde:
  • = i(2) - j(-10) + k(4) é o vetor que vai de = 2 10 4 a um ponto | AP times v | = raiz2^2 + 10^2 + 4^2 = raiz4 + 100 + 16 = raiz120 = 2raiz30 na reta | v | = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 .
  • d = 2raiz30raiz6 = 2raiz5 é o vetor diretor da reta .
  • representa o produto vetorial.
  • representa a norma do vetor.
Vamos escolher como o ponto na reta .
Primeiro, calculamos :
O vetor diretor da reta é:
Agora, calculamos o produto vetorial :
Agora, calculamos a norma desse vetor:
E a norma de :
Finalmente, a distância é:

Passo 4

Parte ©: Determinar o ponto simétrico de Q = A + (AP cdot v)| v |^2 v em relação à reta AP cdot v = (-2)(1) + (-2)(-1) + 6(2) = -2 + 2 + 12 = 12 .
Para encontrar o ponto simétrico de Q = A + 126 v = A + 2v em relação à reta = 3 4 -2 + 2 1 -1 2 = 3 + 2 4 - 2 -2 + 4 = 5 2 2 , precisamos primeiro encontrar o ponto A' = 2Q - A = 2 5 2 2 - 3 4 -2 = 10 4 4 - 3 4 -2 = 7 0 6 na reta que está mais próximo de (isto é, onde a perpendicular passa por ). Depois, o ponto simétrico será uma reflexão de em relação a .
Já calculamos a distância e sabemos que o vetor nos ajuda a encontrar . Vamos usar a seguinte fórmula para encontrar :
Primeiro, calculamos :
E .
Então:
Agora, o ponto simétrico de em relação a é dado por:

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta perpendicular a x = 3 + t y = 4 + t z = -2 e que passa por são:
(b) A distância de à reta é .
© O ponto simétrico de em relação à reta é .

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