Determinar uma equação geral do plano:
(a) que passa por A(2,0,-2) e é paralelo aos vetores u=i-j+k e v=2 i+3 i;
(b) que contém os pontos A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano xy;
© que contém a reta r:lx=2+lambda y=1-lambda z=3+2 lambda e é perpendicular ao plano pi: 2 x+2 y+3 z=0;
(d) que contém as retas r1:ly=2 x-3 z=-x+2 e r2:lx-13=z-1-1 y=-1;
(e) que contém as retas r1:lx=-2+lambda y=-lambda z=-3 e r2:ly=-x-1 z=3;
(f) que contém o ponto A(4,3,2) e a reta r:lx=lambda y=2-lambda z=3+2 lambda;
(g) que é paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0,3,4) e B(2,0,-2);
(h) que é paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,3,0) e B(0,4,1);
(i) que é perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3,4,-1).

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, para determinar a equação do plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Um vetor normal pode ser encontrado calculando o produto vetorial dos vetores e .

Passo 3

Calculando o produto vetorial u = 1 -1 1 , v = 2 3 0 :
n = u times v = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 3 & 0 = i((-1)(0) - (1)(3)) - j((1)(0) - (1)(2)) + k((1)(3) - (-1)(2))
n = i(0 - 3) - j(0 - 2) + k(3 + 2) = -3i + 2j + 5k
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal -3(x - 2) + 2(y - 0) + 5(z + 2) = 0 e o ponto -3x + 6 + 2y + 5z + 10 = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
-3x + 2y + 5z + 16 = 0
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:
-3x + 2y + 5z + 16 = 0

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