Determinar uma equação geral do plano: (a) que passa por e é paralelo aos vetores e ; (b) que contém os pontos e e é perpendicular ao plano ; (c) que contém a reta e é perpendicular ao plano ; (d) que contém as retas e ; (e) que contém as retas e ; (f) que contém o ponto e a reta ; (g) que é paralelo ao eixo dos e que contém os pontos e ; (h) que é paralelo ao eixo dos e que contém os pontos e ; (i) que é perpendicular ao eixo dos e que contém o ponto .

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, para determinar a equação do plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Um vetor normal pode ser encontrado calculando o produto vetorial dos vetores e .

Passo 3

Calculando o produto vetorial : Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação geral do plano: Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:

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Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intercepta as retas reversas e .
Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta . (iii) é a intersecção dos planos de equações e .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. (v) Se duas retas não se interceptam, elas não estão ambas contidas em um mesmo plano.