Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas de e . A tarefa é descobrir a posição relativa delas, ou seja, se são paralelas, se cruzam ou se não têm nenhum ponto em comum (chamadas de retas reversas). Se as retas forem reversas, também precisamos verificar se são ortogonais (ou seja, se formam um ângulo de 90 graus). Além disso, se elas se cruzarem, devemos checar se esse cruzamento é perpendicular e encontrar o ponto onde elas se encontram. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as duas retas em forma paramétrica, assim fica mais fácil comparar e resolver.
A reta já está dada na forma paramétrica:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o parâmetro .
Agora, vamos trabalhar com a reta , que é a interseção de dois planos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas de .
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para achar uma expressão paramétrica para . Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Podemos escolher um parâmetro para , então:
Substituindo nas expressões acima:
Portanto, as equações paramétricas da reta são:
Ou, em forma vetorial:
Passo 4
Agora que temos as duas retas em forma paramétrica, vamos identificar os vetores diretores de cada uma. Para a reta dr = (2, 1, -1) :
ds = (-2, 1, -1)
E para a reta :
Primeiro, vamos verificar se as retas são paralelas. Retas são paralelas se os seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro.
Passo 5
Vamos comparar os vetores diretores:
dr = (2, 1, -1) ds = (-2, 1, -1)
Para serem múltiplos, deve existir um número (-2, 1, -1) = k (2, 1, -1) tal que:
-2 = 2k Rightarrow k = -1 1 = 1k Rightarrow k = 1 -1 = -1k Rightarrow k = 1
Analisando cada componente:
Aqui, precisa ser o mesmo para todas as componentes, mas obtemos e , o que não é possível. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 6
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, precisamos encontrar se existem valores de 1 + 2lambda = 9 - 2t -1 + lambda = t 1 - lambda = 3 - t e t = -1 + lambda que satisfaçam as equações:
Substituindo 1 - 2.5 = 3 - 1.5 Rightarrow -1.5 = 1.5 na primeira equação:
Agora, substituímos na expressão para :
Verificamos na terceira equação:
Isso não é verdade, então não existe um ponto de interseção. Portanto, as retas não se intersectam.
Passo 7
Como as retas não são paralelas e nem se intersectam, elas são retas reversas. Agora, vamos verificar se são também ortogonais, isto é, se formam um ângulo de 90 graus. Para isso, calculamos o produto escalar dos vetores diretores: