Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [-1,6], considere a seguinte malha: x0=-1, x1=0, x2=4 e x3=6. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e (xi, yi) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -45 & 34 & 120 & 0 0 & -112 & -14 & 13 0 & 0 & -12 & 12]
(B) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -34 & 23 & 112 & 0 0 & -215 & -16 & 310 0 & 0 & -12 & 12]
© [rrrr-14 & 14 & 0 & 0 -112 & -14 & 13 & 0 0 & -310 & 16 & 215 0 & 0 & -13 & 13]
(D) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -12 & 0 & 12 & 0 0 & -23 & 12 & 16 0 & 0 & -12 & 12]
(E) [rrrr-14 & 14 & 0 & 0 -120 & -34 & 45 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13]
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre estimar a derivada de uma função usando valores amostrais. A gente tem uma função definida no intervalo com pontos específicos onde conhecemos os valores de , ou seja, em . A ideia é encontrar uma matriz que, ao multiplicar pelos valores de , nos dê as aproximações das derivadas nesses pontos. Para isso, vamos precisar entender como calcular nos pontos extremos e interiores e depois montar a matriz de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y00 - (-1) = y1 - y01 e g0 = y1 - y0 , que são os pontos extremos. A fórmula para esses pontos é simples: a derivada é aproximada pela inclinação da reta secante entre o ponto extremo e o ponto adjacente.
Para g3 = y3 - y2x3 - x2 = y3 - y26 - 4 = y3 - y22 :
Simplificando:
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são os pontos interiores. A fórmula é um pouco mais complicada e envolve considerar uma parábola que interpola três pontos consecutivos. A expressão geral para é:
Onde:
Vamos calcular e separadamente.

Passo 4

Calculando x0 = -1, x1 = 0, x2 = 4 :
Para alpha1 = (4 - 0)(0 - (-1))(4 - (-1)) = 4 times 1 times 5 = 20 :
g1 = -(4 - 0)^220 y0 + (4 - 0)^2 - (0 - (-1))^220 y1 + (0 - (-1))^220 y2
Calculando g1 = -1620 y0 + 16 - 120 y1 + 120 y2 = -45 y0 + 1520 y1 + 120 y2 :
g1 = -45 y0 + 34 y1 + 120 y2
Agora, aplicando na fórmula de :
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:

Passo 5

Calculando x1 = 0, x2 = 4, x3 = 6 :
Para alpha2 = (6 - 4)(4 - 0)(6 - 0) = 2 times 4 times 6 = 48 :
g2 = -(6 - 4)^248 y1 + (6 - 4)^2 - (4 - 0)^248 y2 + (4 - 0)^248 y3
Calculando g2 = -448 y1 + 4 - 1648 y2 + 1648 y3 = -112 y1 - 1248 y2 + 13 y3 :
g2 = -112 y1 - 14 y2 + 13 y3
Aplicando na fórmula de :
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora que temos todas as expressões para g0 = -1 cdot y0 + 1 cdot y1 + 0 cdot y2 + 0 cdot y3 g1 = -45 cdot y0 + 34 cdot y1 + 120 cdot y2 + 0 cdot y3 g2 = 0 cdot y0 - 112 cdot y1 - 14 cdot y2 + 13 cdot y3 g3 = 0 cdot y0 + 0 cdot y1 - 12 cdot y2 + 12 cdot y3 em termos de T = -1 & 1 & 0 & 0 -45 & 34 & 120 & 0 0 & -112 & -14 & 13 0 & 0 & -12 & 12 , vamos organizar isso em uma matriz.
Escrevemos cada equação na forma:
Isso dá a matriz de transformação :

Resposta

A matriz que representa a transformação linear é:
-1 & 1 & 0 & 0 -45 & 34 & 120 & 0 0 & -112 & -14 & 13 0 & 0 & -12 & 12
Portanto, a resposta correta é a opção (A).

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