Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
  • para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pontos e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre estimar a derivada de uma função usando valores amostrais. A gente tem uma função definida no intervalo com pontos específicos onde conhecemos os valores de , ou seja, em . A ideia é encontrar uma matriz que, ao multiplicar pelos valores de , nos dê as aproximações das derivadas nesses pontos. Para isso, vamos precisar entender como calcular nos pontos extremos e interiores e depois montar a matriz de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e , que são os pontos extremos. A fórmula para esses pontos é simples: a derivada é aproximada pela inclinação da reta secante entre o ponto extremo e o ponto adjacente.
Para :
Simplificando:
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular e , que são os pontos interiores. A fórmula é um pouco mais complicada e envolve considerar uma parábola que interpola três pontos consecutivos. A expressão geral para é:
Onde:
Vamos calcular e separadamente.

Passo 4

Calculando :
Para :
Calculando :
Agora, aplicando na fórmula de :
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:

Passo 5

Calculando :
Para :
Calculando :
Aplicando na fórmula de :
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora que temos todas as expressões para em termos de , vamos organizar isso em uma matriz.
Escrevemos cada equação na forma:
Isso dá a matriz de transformação :

Resposta

A matriz que representa a transformação linear é:
Portanto, a resposta correta é a opção (A).

Exercícios relacionados

é tal que e Imagem . Se , calcule a matriz . Assinale abaixo o valor da entrada :
(A) 8
(B) 9
© 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15
(I) Não sei
Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Sejam uma base de e . Se as coordenadas na base destes vetores são e , então é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(a) .