Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre estimar a derivada de uma função usando valores amostrais. A gente tem uma função definida no intervalo com pontos específicos onde conhecemos os valores de , ou seja, em . A ideia é encontrar uma matriz que, ao multiplicar pelos valores de , nos dê as aproximações das derivadas nesses pontos. Para isso, vamos precisar entender como calcular nos pontos extremos e interiores e depois montar a matriz de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y00 - (-1) = y1 - y01 e g0 = y1 - y0 , que são os pontos extremos. A fórmula para esses pontos é simples: a derivada é aproximada pela inclinação da reta secante entre o ponto extremo e o ponto adjacente.
Agora, vamos calcular gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são os pontos interiores. A fórmula é um pouco mais complicada e envolve considerar uma parábola que interpola três pontos consecutivos. A expressão geral para é:
Onde:
Vamos calcular e separadamente.
Passo 4
Calculando x0 = -1, x1 = 0, x2 = 4 :
Para alpha1 = (4 - 0)(0 - (-1))(4 - (-1)) = 4 times 1 times 5 = 20 :