Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre estimar a derivada de uma função usando valores amostrais. A gente tem uma função definida no intervalo com pontos específicos onde conhecemos os valores de , ou seja, em . A ideia é encontrar uma matriz que, ao multiplicar pelos valores de , nos dê as aproximações das derivadas nesses pontos. Para isso, vamos precisar entender como calcular nos pontos extremos e interiores e depois montar a matriz de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular e , que são os pontos extremos. A fórmula para esses pontos é simples: a derivada é aproximada pela inclinação da reta secante entre o ponto extremo e o ponto adjacente.
Para :
Simplificando:
Para :
Passo 3
Agora, vamos calcular e , que são os pontos interiores. A fórmula é um pouco mais complicada e envolve considerar uma parábola que interpola três pontos consecutivos. A expressão geral para é:
Onde:
Vamos calcular e separadamente.
Passo 4
Calculando :
Para :
Calculando :
Agora, aplicando na fórmula de :
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:
Passo 5
Calculando :
Para :
Calculando :
Aplicando na fórmula de :
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora que temos todas as expressões para em termos de , vamos organizar isso em uma matriz.