Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(0,-1) e v=(5,7). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(4,3) e [v]beta=(-3,-1), então b2 é:
(A) [l* 4]
(B) [l* 2]
© [l* 0]
(D) [l* 3]
(E) [l* 1]
(F) [l* 5]
(G) [l* 6]
(H) [l* 7]
(I) Não sei

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma base beta = b1, b2 do R^2, dois vetores u = (0, -1) e v = (5, 7), e suas coordenadas nessa base: [u]beta = (4, 3) e [v]beta = (-3, -1). Nosso objetivo é encontrar o vetor b2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja,
u = 4b1 + 3b2
e
v = -3b1 - b2

Passo 3

Agora, vamos escrever essas equações separadamente. Sabemos que:
u = (0, -1) = 4b1 + 3b2
e
v = (5, 7) = -3b1 - b2

Passo 4

Vamos representar b1 e b2 como vetores com componentes desconhecidos:
b1 = x1 y1 , b2 = x2 y2

Passo 5

Substituindo b1 e b2 nas equações de u e v:
Para u:
0 -1 = 4 x1 y1 + 3 x2 y2 = 4x1 + 3x2 4y1 + 3y2
Para v:
5 7 = -3 x1 y1 - x2 y2 = -3x1 - x2 -3y1 - y2

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
Para u:
  1. 4x1 + 3x2 = 0
  2. 4y1 + 3y2 = -1
Para v:
3. -3x1 - x2 = 5
4. -3y1 - y2 = 7

Passo 7

Vamos resolver esse sistema para encontrar x1, x2, y1, e y2. Começamos pela equação 3 para encontrar x2 em termos de x1:
-3x1 - x2 = 5 implies x2 = -3x1 - 5

Passo 8

Substituímos x2 na equação 1:
4x1 + 3(-3x1 - 5) = 0 4x1 - 9x1 - 15 = 0 -5x1 = 15 x1 = -3

Passo 9

Agora que temos x1 = -3, encontramos x2:
x2 = -3(-3) - 5 = 9 - 5 = 4

Passo 10

Agora, vamos resolver para y1 e y2. Usamos a equação 4 para encontrar y2 em termos de y1:
-3y1 - y2 = 7 implies y2 = -3y1 - 7

Passo 11

Substituímos y2 na equação 2:
4y1 + 3(-3y1 - 7) = -1 4y1 - 9y1 - 21 = -1 -5y1 = 20 y1 = -4

Passo 12

Agora que temos y1 = -4, encontramos y2:
y2 = -3(-4) - 7 = 12 - 7 = 5

Resposta

Com isso, encontramos que b2 = * 5 . Portanto, a alternativa correta é:
(F) [l* 5]

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