Supondo que os tamanhos das matrizes sejam tais que as operações indicadas possam ser efetuadas, valem as seguintes regras da aritmética matricial.
(a)
[Lei da comutatividade da adição]
(b)
[Lei da associatividade da adição]
©
[Lei da associatividade da multiplicação]
(d)
[Lei da distributividade à esquerda]
(e)
[Lei da distributividade à direita]
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(a)
[Lei da comutatividade da adição]
(b)
[Lei da associatividade da adição]
©
[Lei da associatividade da multiplicação]
(d)
[Lei da distributividade à esquerda]
(e)
[Lei da distributividade à direita]
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a pegada dessa questão. Estamos lidando com aritmética matricial, que é basicamente a matemática das matrizes. As operações que vamos ver aqui são a adição, subtração e multiplicação de matrizes. O exercício apresenta várias regras que essas operações seguem, como comutatividade, associatividade e distributividade. Para resolver isso, vamos analisar cada uma dessas regras e entender como elas funcionam com as matrizes.
Passo 2
(a)
[Lei da comutatividade da adição]
Essa regra diz que a ordem em que você adiciona duas matrizes não importa. Ou seja, se você tem a matriz A e a matriz B, a soma A + B será igual à soma B + A. Isso é bem parecido com a adição de números comuns, onde 2 + 3 é igual a 3 + 2.
Passo 3
(b)
[Lei da associatividade da adição]
Aqui, a regra fala sobre como agrupar as matrizes. Não importa se você soma primeiro B + C e depois adiciona A, ou se soma A + B primeiro e depois adiciona C. O resultado será o mesmo. Isso ajuda a simplificar cálculos quando temos várias matrizes.
Passo 4
©
[Lei da associatividade da multiplicação]
Essa é uma regra sobre multiplicação de matrizes. Ela diz que, ao multiplicar três matrizes, não importa se você multiplica B e C primeiro e depois multiplica o resultado por A, ou se multiplica A e B primeiro e depois multiplica por C. O resultado final será o mesmo.
Passo 5
(d)
[Lei da distributividade à esquerda]
Essa regra mostra como a multiplicação se distribui sobre a adição. Basicamente, se você multiplica uma matriz A pela soma de B e C, é o mesmo que multiplicar A por B e A por C separadamente e depois somar os resultados.
Passo 6
(e)
[Lei da distributividade à direita]
É similar à anterior, mas agora a matriz C está do lado direito. Isso significa que se você multiplica a soma de A e B pela matriz C, é igual a multiplicar A por C e B por C separadamente e depois somar.
Passo 7
(f)
Aqui, a multiplicação distribui sobre a subtração. Multiplicar A pela diferença entre B e C é o mesmo que multiplicar A por B e A por C separadamente e depois subtrair.
Passo 8
(g)
Assim como no item anterior, mas a matriz A está do outro lado. Multiplicar a diferença entre B e C pela matriz A resulta na subtração das multiplicações de B por A e C por A.
Passo 9
(h)
Essa regra envolve escalares (números) multiplicando matrizes. Multiplicar um escalar a pela soma de B e C é igual a multiplicar a por B e a por C separadamente e depois somar.
Passo 10
(i)
Similar ao item anterior, mas com subtração. Multiplicar o escalar a pela diferença entre B e C resulta na subtração das multiplicações de a por B e a por C.
Passo 11
(j)
Multiplicação distribuída de escalares sobre uma matriz. A soma de dois escalares a e b, multiplicada pela matriz C, é igual a multiplicar a por C e b por C separadamente e depois somar.
Passo 12
(k)
Semelhante ao item anterior, mas com subtração. A diferença entre os escalares a e b, multiplicada pela matriz C, é igual à subtração das multiplicações de a por C e b por C.
Passo 13
(l)
Essa regra mostra que a ordem dos escalares na multiplicação não importa. Multiplicar primeiro b por C e depois a pelo resultado é o mesmo que multiplicar os escalares a e b primeiro e depois multiplicar pelo C.
Passo 14
(m)
Essa última regra combina as anteriores. Um escalar a multiplicando o produto de B e C pode ser reescrito multiplicando a por B primeiro ou multiplicando a por C primeiro, mantendo a mesma ordem no final.
Resposta
Com isso, vimos que as operações de adição, subtração e multiplicação de matrizes seguem várias regras importantes de comutatividade, associatividade e distributividade, tanto envolvendo apenas matrizes quanto combinando matrizes com escalares. Entender essas regras facilita muito na hora de manipular e resolver problemas envolvendo matrizes!