Supondo que os tamanhos das matrizes sejam tais que as operações indicadas possam ser efetuadas, valem as seguintes regras da aritmética matricial.
(a)
[Lei da comutatividade da adição]
(b)
[Lei da associatividade da adição]
©
[Lei da associatividade da multiplicação]
(d)
[Lei da distributividade à esquerda]
(e)
[Lei da distributividade à direita]
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(a)
[Lei da comutatividade da adição]
(b)
[Lei da associatividade da adição]
©
[Lei da associatividade da multiplicação]
(d)
[Lei da distributividade à esquerda]
(e)
[Lei da distributividade à direita]
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a pegada dessa questão. Estamos lidando com aritmética matricial, que é basicamente a matemática das matrizes. As operações que vamos ver aqui são a adição, subtração e multiplicação de matrizes. O exercício apresenta várias regras que essas operações seguem, como comutatividade, associatividade e distributividade. Para resolver isso, vamos analisar cada uma dessas regras e entender como elas funcionam com as matrizes.
Passo 2
(a)
[Lei da comutatividade da adição]
Essa regra diz que a ordem em que você adiciona duas matrizes não importa. Ou seja, se você tem a matriz A e a matriz B, a soma A + B será igual à soma B + A. Isso é bem parecido com a adição de números comuns, onde 2 + 3 é igual a 3 + 2.
Passo 3
(b)
[Lei da associatividade da adição]
Aqui, a regra fala sobre como agrupar as matrizes. Não importa se você soma primeiro B + C e depois adiciona A, ou se soma A + B primeiro e depois adiciona C. O resultado será o mesmo. Isso ajuda a simplificar cálculos quando temos várias matrizes.
Passo 4
©
[Lei da associatividade da multiplicação]
Essa é uma regra sobre multiplicação de matrizes. Ela diz que, ao multiplicar três matrizes, não importa se você multiplica B e C primeiro e depois multiplica o resultado por A, ou se multiplica A e B primeiro e depois multiplica por C. O resultado final será o mesmo.
Passo 5
(d)
[Lei da distributividade à esquerda]
Essa regra mostra como a multiplicação se distribui sobre a adição. Basicamente, se você multiplica uma matriz A pela soma de B e C, é o mesmo que multiplicar A por B e A por C separadamente e depois somar os resultados.
Passo 6
(e)
[Lei da distributividade à direita]
É similar à anterior, mas agora a matriz C está do lado direito. Isso significa que se você multiplica a soma de A e B pela matriz C, é igual a multiplicar A por C e B por C separadamente e depois somar.
Passo 7
(f)
Aqui, a multiplicação distribui sobre a subtração. Multiplicar A pela diferença entre B e C é o mesmo que multiplicar A por B e A por C separadamente e depois subtrair.
Passo 8
(g)
Assim como no item anterior, mas a matriz A está do outro lado. Multiplicar a diferença entre B e C pela matriz A resulta na subtração das multiplicações de B por A e C por A.
Passo 9
(h)
Essa regra envolve escalares (números) multiplicando matrizes. Multiplicar um escalar a pela soma de B e C é igual a multiplicar a por B e a por C separadamente e depois somar.
Passo 10
(i)
Similar ao item anterior, mas com subtração. Multiplicar o escalar a pela diferença entre B e C resulta na subtração das multiplicações de a por B e a por C.
Passo 11
(j)
Multiplicação distribuída de escalares sobre uma matriz. A soma de dois escalares a e b, multiplicada pela matriz C, é igual a multiplicar a por C e b por C separadamente e depois somar.
Passo 12
(k)
Semelhante ao item anterior, mas com subtração. A diferença entre os escalares a e b, multiplicada pela matriz C, é igual à subtração das multiplicações de a por C e b por C.
Passo 13
(l)
Essa regra mostra que a ordem dos escalares na multiplicação não importa. Multiplicar primeiro b por C e depois a pelo resultado é o mesmo que multiplicar os escalares a e b primeiro e depois multiplicar pelo C.
Passo 14
(m)
Essa última regra combina as anteriores. Um escalar a multiplicando o produto de B e C pode ser reescrito multiplicando a por B primeiro ou multiplicando a por C primeiro, mantendo a mesma ordem no final.
Resposta
Com isso, vimos que as operações de adição, subtração e multiplicação de matrizes seguem várias regras importantes de comutatividade, associatividade e distributividade, tanto envolvendo apenas matrizes quanto combinando matrizes com escalares. Entender essas regras facilita muito na hora de manipular e resolver problemas envolvendo matrizes!
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas
e
dadas. Caso
e
sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso
e
sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(a) .
(a)
Sejam
uma base de
e
. Se as coordenadas na base
destes vetores são
e
, então
é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (op cional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (op cional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza
depende de duas variáveis de controle
e
, O modelo matemático para esta dependência é
, onde os parâmetros
e
dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, for am realizadas 7 medições de
para diferentes configurações de
e
e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
|
|
|
-3 | 2 | 35.1 |
-2 | 4 | 2.0 |
-1 | 3 | -9.5 |
0 | 4 | -17.8 |
1 | 1 | -3.9 |
2 | -5 | 28.8 |
3 | 1 | 37.5 |
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros
e
de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de
previsto pelo modelo ajustado para
. Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo), Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 157.5
(B) 158.5
© 159.5
(D) 160.5
(E) 161.5
(F) 162.5
(G) 163.5
(H) 164.5
(I) Não sei
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo), Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 157.5
(B) 158.5
© 159.5
(D) 160.5
(E) 161.5
(F) 162.5
(G) 163.5
(H) 164.5
(I) Não sei