Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=3 x^2+3 x-4 na reta gerada por
q(x)=2-3 x.
Atividade adicional (op cional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 3 x^2+3 x-4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-3 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 27 x4-92
(B) -27 x^24-27 x4+9
© -15 x^22-15 x2+10
(D) 6 x-4
(E) -33 x^24-33 x4+11
(F) 15 x2-5
(G) -6 x^2-6 x+8
(H) 33 x4-112
(I) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois polinômios no espaço vetorial P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. O primeiro polinômio é p(x) = 3x^2 + 3x - 4 e o segundo é q(x) = 2 - 3x. Queremos encontrar a projeção ortogonal de p(x) na reta gerada por q(x). Para isso, vamos usar o conceito de produto interno definido por:
lang<= p, qrang<= = integral0^1 p(x) q(x) , dx
Vamos precisar calcular dois produtos internos: lang<= p, q rang<= e lang<= q, q rang<=. Depois, usaremos esses valores para encontrar a projeção.

Passo 2

Vamos calcular o produto interno lang<= p, q rang<=. Isso significa que vamos multiplicar os dois polinômios e integrar o resultado de x = 0 a x = 1:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 (3x^2 + 3x - 4)(2 - 3x) , dx
Primeiro, vamos expandir a multiplicação:
(3x^2 + 3x - 4)(2 - 3x) = 3x^2 cdot 2 + 3x^2 cdot (-3x) + 3x cdot 2 + 3x cdot (-3x) - 4 cdot 2 - 4 cdot (-3x)
= 6x^2 - 9x^3 + 6x - 9x^2 - 8 + 12x
= -9x^3 - 3x^2 + 18x - 8
Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 (-9x^3 - 3x^2 + 18x - 8) , dx = -9 cdot x^44 - 3 cdot x^33 + 18 cdot x^22 - 8x |0^1
= -94x^4 - x^3 + 9x^2 - 8x |0^1
Substituindo x = 1 e x = 0:
= (-94 cdot 1 - 1 + 9 cdot 1 - 8 cdot 1) - (0 - 0 + 0 - 0)
= -94 - 1 + 9 - 8 = -94 - 1 + 1 = -94
Então, lang<= p, q rang<= = -94.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= q, q rang<=:
lang<= q, q rang<= = integral0^1 (2 - 3x)^2 , dx
Primeiro, expandimos o quadrado:
(2 - 3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2
Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 (4 - 12x + 9x^2) , dx = 4x - 12 cdot x^22 + 9 cdot x^33 |0^1
= 4x - 6x^2 + 3x^3 |0^1
Substituindo x = 1 e x = 0:
= (4 cdot 1 - 6 cdot 1 + 3 cdot 1) - (0 - 0 + 0) = 4 - 6 + 3 = 1
Então, lang<= q, q rang<= = 1.

Passo 4

Com os valores dos produtos internos, podemos encontrar a projeção ortogonal de p(x) na reta gerada por q(x) usando a fórmula:
Projq p = lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= cdot q(x)
Substituindo os valores que encontramos:
Projq p = -941 cdot (2 - 3x) = -94 cdot (2 - 3x)
= -94 cdot 2 + 274x = -184 + 274x = 274x - 184
= 27x4 - 92

Resposta

(A) 27 x4-92

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