Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (op cional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (op cional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois polinômios no espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. O primeiro polinômio é
e o segundo é
. Queremos encontrar a projeção ortogonal de
na reta gerada por
. Para isso, vamos usar o conceito de produto interno definido por:
Vamos precisar calcular dois produtos internos:
e
. Depois, usaremos esses valores para encontrar a projeção.
Passo 2
Vamos calcular o produto interno
. Isso significa que vamos multiplicar os dois polinômios e integrar o resultado de
a
:
Primeiro, vamos expandir a multiplicação:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo
x = 1 e
x = 0 :
Então,
lang<= p, q rang<= = -94 .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno
lang<= q, q rang<= :
Primeiro, expandimos o quadrado:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo
x = 1 e
x = 0 :
Então,
lang<= q, q rang<= = 1 .
Passo 4
Com os valores dos produtos internos, podemos encontrar a projeção ortogonal de
p(x) na reta gerada por
q(x) usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
(A)
27 x4-92