Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a posição relativa de duas retas no espaço. O que a gente precisa aqui é identificar se as retas e são paralelas, se elas se cruzam (concorrentes) ou se são reversas (não se cruzam e não são paralelas). Além disso, se forem reversas, a gente também vai verificar se são ortogonais, ou seja, se formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial, como parametrização de retas, verificação de paralelismo e cálculo de produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas e :
Aqui, e são os parâmetros que variam ao longo das retas.
Passo 3
Vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas.
Vetores diretores:
Vamos ver se existe um número tal que .
Resolvendo a primeira equação:
Segunda equação: →
Como os valores de não são consistentes, as retas não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas e resolvemos o sistema para e .
Igualando as componentes:
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos um sistema com duas equações:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, somamos a equação (1) com a equação (3):
Substituindo na equação (1):
Agora, vamos verificar na terceira equação:
Como a igualdade é verdadeira, as retas se cruzam no ponto correspondente.
Passo 5
Agora que sabemos que as retas são concorrentes, vamos verificar se são perpendiculares, ou seja, se os vetores diretores delas são ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar dos vetores diretores. Se o produto for zero, os vetores são ortogonais.
Produto escalar:
Como o produto escalar é 10, que não é zero, as retas não são perpendiculares.
Resposta
As retas e são concorrentes, se cruzam no ponto , mas não são perpendiculares.