Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a posição relativa de duas retas no espaço. O que a gente precisa aqui é identificar se as retas e são paralelas, se elas se cruzam (concorrentes) ou se são reversas (não se cruzam e não são paralelas). Além disso, se forem reversas, a gente também vai verificar se são ortogonais, ou seja, se formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial, como parametrização de retas, verificação de paralelismo e cálculo de produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas e :
Aqui, e são os parâmetros que variam ao longo das retas.
Passo 3
Vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas.
Vetores diretores:
vr = 2 -1 3 , vs = 1 -2 2
Vamos ver se existe um número 1 = 2k -2 = -1k 2 = 3k tal que .
Resolvendo a primeira equação:
Segunda equação: →
Como os valores de não são consistentes, as retas não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas e resolvemos o sistema para 8 + 2alpha = 3 + beta 1 - alpha = -4 - 2beta 9 + 3alpha = 4 + 2beta e 8 + 2alpha = 3 + beta Rightarrow 2alpha - beta = -5 (1) .
Como a igualdade é verdadeira, as retas se cruzam no ponto correspondente.
Passo 5
Agora que sabemos que as retas são concorrentes, vamos verificar se são perpendiculares, ou seja, se os vetores diretores delas são ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar dos vetores diretores. Se o produto for zero, os vetores são ortogonais.