Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a posição relativa de duas retas no espaço. O que a gente precisa aqui é identificar se as retas e são paralelas, se elas se cruzam (concorrentes) ou se são reversas (não se cruzam e não são paralelas). Além disso, se forem reversas, a gente também vai verificar se são ortogonais, ou seja, se formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial, como parametrização de retas, verificação de paralelismo e cálculo de produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas e :
Aqui, e são os parâmetros que variam ao longo das retas.

Passo 3

Vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas.
Vetores diretores:
Vamos ver se existe um número tal que .
Resolvendo a primeira equação:
Segunda equação:
Como os valores de não são consistentes, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas e resolvemos o sistema para e .
Igualando as componentes:
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos um sistema com duas equações:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, somamos a equação (1) com a equação (3):
Substituindo na equação (1):
Agora, vamos verificar na terceira equação:
Como a igualdade é verdadeira, as retas se cruzam no ponto correspondente.

Passo 5

Agora que sabemos que as retas são concorrentes, vamos verificar se são perpendiculares, ou seja, se os vetores diretores delas são ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar dos vetores diretores. Se o produto for zero, os vetores são ortogonais.
Produto escalar:
Como o produto escalar é 10, que não é zero, as retas não são perpendiculares.

Resposta

As retas e são concorrentes, se cruzam no ponto , mas não são perpendiculares.

Exercícios relacionados

Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e , O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, for am realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
-3 2 35.1
-2 4 2.0
-1 3 -9.5
0 4 -17.8
1 1 -3.9
2 -5 28.8
3 1 37.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros e de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de previsto pelo modelo ajustado para . Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo), Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 157.5
(B) 158.5
© 159.5
(D) 160.5
(E) 161.5
(F) 162.5
(G) 163.5
(H) 164.5
(I) Não sei
Introduzimos em , espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (op cional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e , para alguns valores de . O observe que a melhor aproximação de no intervalo por um múltiplo de é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
é uma elipse com um dos focos no ponto . Determine também os demais elementos da elipse .
Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)