Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas r e s dadas. Caso r e s sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso r e s sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(e) r: X=(8,1,9)+alpha(2,-1,3); s: X=(3,-4,4)+beta(1,-2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a posição relativa de duas retas no espaço. O que a gente precisa aqui é identificar se as retas e são paralelas, se elas se cruzam (concorrentes) ou se são reversas (não se cruzam e não são paralelas). Além disso, se forem reversas, a gente também vai verificar se são ortogonais, ou seja, se formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial, como parametrização de retas, verificação de paralelismo e cálculo de produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas r: X = 8 1 9 + alpha 2 -1 3 , s: X = 3 -4 4 + beta 1 -2 2 e :
Aqui, e são os parâmetros que variam ao longo das retas.

Passo 3

Vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas.
Vetores diretores:
vr = 2 -1 3 , vs = 1 -2 2
Vamos ver se existe um número 1 = 2k -2 = -1k 2 = 3k tal que .
Resolvendo a primeira equação:
Segunda equação:
Como os valores de não são consistentes, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas e resolvemos o sistema para 8 + 2alpha = 3 + beta 1 - alpha = -4 - 2beta 9 + 3alpha = 4 + 2beta e 8 + 2alpha = 3 + beta Rightarrow 2alpha - beta = -5 (1) .
Igualando as componentes:
1 - alpha = -4 - 2beta Rightarrow -alpha + 2beta = -5 (2)
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
2alpha - beta = -5 -alpha + 2beta = -5
Da segunda equação:
-2alpha + 4beta = -10 (3)
Agora, temos um sistema com duas equações:
2alpha - beta -2alpha + 4beta = -5 -10 Rightarrow 3beta = -15 Rightarrow beta = -5
Multiplicando a segunda equação por 2:
2alpha - (-5) = -5 Rightarrow 2alpha + 5 = -5 Rightarrow 2alpha = -10 Rightarrow alpha = -5
Agora, somamos a equação (1) com a equação (3):
9 + 3(-5) = 4 + 2(-5) Rightarrow 9 -15 = 4 -10 Rightarrow -6 = -6
Substituindo na equação (1):
Agora, vamos verificar na terceira equação:
Como a igualdade é verdadeira, as retas se cruzam no ponto correspondente.

Passo 5

Agora que sabemos que as retas são concorrentes, vamos verificar se são perpendiculares, ou seja, se os vetores diretores delas são ortogonais. Para isso, calculamos o produto escalar dos vetores diretores. Se o produto for zero, os vetores são ortogonais.
Produto escalar:
vr cdot vs = (2)(1) + (-1)(-2) + (3)(2) = 2 + 2 + 6 = 10
Como o produto escalar é 10, que não é zero, as retas não são perpendiculares.

Resposta

As retas e são concorrentes, se cruzam no ponto , mas não são perpendiculares.

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