Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e , O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, for am realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
-3 2 35.1
-2 4 2.0
-1 3 -9.5
0 4 -17.8
1 1 -3.9
2 -5 28.8
3 1 37.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros e de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de previsto pelo modelo ajustado para . Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo), Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 157.5
(B) 158.5
© 159.5
(D) 160.5
(E) 161.5
(F) 162.5
(G) 163.5
(H) 164.5
(I) Não sei

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fenômeno físico onde a grandeza depende de duas variáveis de controle, e , seguindo o modelo matemático:
Queremos encontrar os parâmetros , e que melhor ajustam esse modelo aos dados experimentais fornecidos, usando o método dos mínimos quadrados. Depois, usaremos esses parâmetros para prever o valor de quando e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos:
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos montar um sistema de equações baseado no modelo . Isso nos dará um sistema linear que podemos resolver para encontrar , e .

Passo 3

Vamos montar as equações a partir dos dados:
Simplificando:

Passo 4

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss ou o uso de matrizes. No entanto, devido à complexidade manual, é mais prático utilizar um software ou uma planilha para resolver o sistema.
Após resolver o sistema, encontramos os valores aproximados:

Passo 5

Agora, vamos usar esses valores para prever quando e :
Calculando passo a passo:
Arredondando, temos .

Resposta

A melhor aproximação para o valor de previsto pelo modelo ajustado é (F) 162.5.

Exercícios relacionados

Introduzimos em , espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (op cional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de e , para alguns valores de . O observe que a melhor aproximação de no intervalo por um múltiplo de é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Supondo que os tamanhos das matrizes sejam tais que as operações indicadas possam ser efetuadas, valem as seguintes regras da aritmética matricial.
(a)
[Lei da comutatividade da adição]
(b)
[Lei da associatividade da adição]
©
[Lei da associatividade da multiplicação]
(d)
[Lei da distributividade à esquerda]
(e)
[Lei da distributividade à direita]
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(e) .
é uma elipse com um dos focos no ponto . Determine também os demais elementos da elipse .