E=P lvert, d(P, F)=12 d(P, r)
é uma elipse com um dos focos no ponto F. Determine também os demais elementos da elipse E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma elipse definida por todos os pontos que satisfazem a condição . Aqui, é um foco da elipse e é uma reta que funciona como diretriz. Nosso objetivo é descobrir os outros elementos que compõem essa elipse, como o segundo foco, o centro, os eixos maior e menor, entre outros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das elipses e como elas se relacionam com focos e diretrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que uma elipse pode ser definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. No entanto, no nosso caso, a definição está relacionada a uma diretriz e a um foco. Isso nos leva a pensar na definição de elipse baseada na razão entre a distância a um foco e a distância a uma diretriz, que é chamada de excentricidade .

Passo 3

A excentricidade de uma elipse é uma medida de quão “alongada” ela é. Ela é definida pela relação , onde:
  • é a distância do centro até cada foco.
  • é o comprimento do semieixo maior (a metade do eixo maior).
No nosso caso, a relação dada é , o que pode ser interpretado como a excentricidade .

Passo 4

Sabendo que , podemos expressar . Isso nos ajuda a relacionar as distâncias dos elementos da elipse. Mas para determinar e , precisamos de mais informações ou relações.

Passo 5

Outra propriedade importante é a distância da diretriz ao centro da elipse, que está relacionada com a excentricidade e o semieixo maior. A distância da diretriz ao centro é dada por . Substituindo , temos .

Passo 6

Agora, sabemos que:
Isso nos dá duas equações com duas incógnitas ( e ), mas precisamos de mais informações para encontrar valores específicos. No entanto, como estamos trabalhando de forma geral, podemos continuar relacionando os elementos.

Passo 7

Sabemos também que o semieixo menor b = raiza^2 - (a2)^2 = raiza^2 - a^24 = raiz3a^24 = araiz32 está relacionado com e pela fórmula . Substituindo , temos:

Passo 8

Com isso, já temos expressões para todos os elementos principais da elipse em termos de :
  • Semieixo maior:
  • Semieixo menor:
  • Distância do centro aos focos:
  • Distância da diretriz ao centro:

Passo 9

Para encontrar a localização do segundo foco, sabemos que os dois focos estão alinhados ao longo do eixo maior, a uma distância de do centro em direções opostas. Se o primeiro foco está a uma posição, o segundo foco estará na direção oposta a uma distância de do centro.

Passo 10

Resumindo, os elementos da elipse são:
  • Centro: Ponto médio entre os dois focos.
  • Focos: e , separados por uma distância de .
  • Semieixo maior: Comprimento .
  • Semieixo menor: Comprimento .
  • Diretriz: Reta a uma distância de do centro.

Resposta

Os demais elementos da elipse são:
  • Centro: O ponto médio entre os focos e .
  • Segundo foco: , localizado a uma distância na direção oposta a em relação ao centro.
  • Semieixo maior: Comprimento .
  • Semieixo menor: Comprimento .
  • Diretriz: Reta situada a uma distância de do centro da elipse.

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