é uma elipse com um dos focos no ponto . Determine também os demais elementos da elipse .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma elipse definida por todos os pontos que satisfazem a condição . Aqui, é um foco da elipse e é uma reta que funciona como diretriz. Nosso objetivo é descobrir os outros elementos que compõem essa elipse, como o segundo foco, o centro, os eixos maior e menor, entre outros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das elipses e como elas se relacionam com focos e diretrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que uma elipse pode ser definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. No entanto, no nosso caso, a definição está relacionada a uma diretriz e a um foco. Isso nos leva a pensar na definição de elipse baseada na razão entre a distância a um foco e a distância a uma diretriz, que é chamada de excentricidade .

Passo 3

A excentricidade de uma elipse é uma medida de quão “alongada” ela é. Ela é definida pela relação , onde:
  • é a distância do centro até cada foco.
  • é o comprimento do semieixo maior (a metade do eixo maior).
No nosso caso, a relação dada é , o que pode ser interpretado como a excentricidade .

Passo 4

Sabendo que , podemos expressar . Isso nos ajuda a relacionar as distâncias dos elementos da elipse. Mas para determinar e , precisamos de mais informações ou relações.

Passo 5

Outra propriedade importante é a distância da diretriz ao centro da elipse, que está relacionada com a excentricidade e o semieixo maior. A distância da diretriz ao centro é dada por . Substituindo , temos .

Passo 6

Agora, sabemos que:
Isso nos dá duas equações com duas incógnitas ( e ), mas precisamos de mais informações para encontrar valores específicos. No entanto, como estamos trabalhando de forma geral, podemos continuar relacionando os elementos.

Passo 7

Sabemos também que o semieixo menor está relacionado com e pela fórmula . Substituindo , temos:

Passo 8

Com isso, já temos expressões para todos os elementos principais da elipse em termos de :
  • Semieixo maior:
  • Semieixo menor:
  • Distância do centro aos focos:
  • Distância da diretriz ao centro:

Passo 9

Para encontrar a localização do segundo foco, sabemos que os dois focos estão alinhados ao longo do eixo maior, a uma distância de do centro em direções opostas. Se o primeiro foco está a uma posição, o segundo foco estará na direção oposta a uma distância de do centro.

Passo 10

Resumindo, os elementos da elipse são:
  • Centro: Ponto médio entre os dois focos.
  • Focos: e , separados por uma distância de .
  • Semieixo maior: Comprimento .
  • Semieixo menor: Comprimento .
  • Diretriz: Reta a uma distância de do centro.

Resposta

Os demais elementos da elipse são:
  • Centro: O ponto médio entre os focos e .
  • Segundo foco: , localizado a uma distância na direção oposta a em relação ao centro.
  • Semieixo maior: Comprimento .
  • Semieixo menor: Comprimento .
  • Diretriz: Reta situada a uma distância de do centro da elipse.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas e dadas. Caso e sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso e sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
(e) .
Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e , O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, for am realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
-3 2 35.1
-2 4 2.0
-1 3 -9.5
0 4 -17.8
1 1 -3.9
2 -5 28.8
3 1 37.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros e de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de previsto pelo modelo ajustado para . Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo), Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 157.5
(B) 158.5
© 159.5
(D) 160.5
(E) 161.5
(F) 162.5
(G) 163.5
(H) 164.5
(I) Não sei
Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)
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