Em cada item abaixo, determine a posição relativa das retas r e s dadas. Caso r e s sejam reversas, verifique se são também ortogonais. Caso r e s sejam concorrentes, verifique se são também perpendiculares e determine o ponto de intersecção.
© r: x+12=y=-z ; s:lx+y-3 z=1 2 x-y-2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos trabalhando com retas no espaço tridimensional. O que a gente precisa fazer é descobrir como as retas e estão posicionadas uma em relação à outra. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, sistemas de equações e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a reta x + 12 = y = -z em uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
x = 2t - 1 y = t z = -t
Podemos reescrever isso em forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de r(t) = (-1, 0, 0) + t(2, 1, -1) :
Então, a forma paramétrica da reta é:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta x + y - 3z = 1 2x - y - 2z = 0 . Ela é definida pelo sistema de equações:
2(x + y - 3z) + (2x - y - 2z) = 2(1) + 0 2x + 2y - 6z + 2x - y - 2z = 2 4x + y - 8z = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar a forma paramétrica da reta x + y - 3t = 1 2x - y - 2t = 0 . Podemos usar o método de eliminação. Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda:
3x - 5t = 1 Rightarrow x = 1 + 5t3
Mas para facilitar, vamos resolver para duas variáveis em termos de uma terceira. Vamos escolher 2(1 + 5t3) - y - 2t = 0 2 + 10t3 - y - 2t = 0 y = 2 + 10t3 - 2t = 2 + 10t - 6t3 = 2 + 4t3 como parâmetro:
s(t) = (13, 23, 0) + t(53, 43, 1)
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Então, a forma paramétrica da reta é:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta .

Passo 4

Agora que temos as formas paramétricas das duas retas, vamos verificar se elas são paralelas, concorrentes ou reversas.
Primeiro, comparamos os vetores diretores. Se os vetores forem múltiplos um do outro, as retas são paralelas. Caso contr��rio, elas podem ser concorrentes (intersectando) ou reversas (não se intersectando e não sendo paralelas).
Os vetores diretores são:
dr = (2, 1, -1) e ds = (53, 43, 1)
Vamos ver se existe um escalar 2 = k cdot 53 Rightarrow k = 65 1 = k cdot 43 Rightarrow k = 34 tal que :
Os valores de não são iguais, então as retas não são paralelas. Portanto, elas podem ser concorrentes ou reversas.

Passo 5

Para verificar se as retas são concorrentes (isto é, se elas se intersectam), vamos igualar as formas paramétricas e resolver o sistema para encontrar um ponto comum.
Temos:
2t - 1 = 13 + 53s t = 23 + 43s -t = s
Vamos substituir t = 23 + 43(-t) t = 23 - 43t t + 43t = 23 73t = 23 t = 27 na segunda equação:
s = -27
Agora, substituindo 2(27) - 1 = 13 + 53(-27) 47 - 1 = 13 - 1021 -37 = 7 - 1021 -37 = -321 = -17 (Não confere) em :
Vamos verificar as outras equações para confirmar. Substituindo e na primeira equação:
ã
Parece que não encontramos um ponto comum, indicando que as retas são reversas.

Passo 6

Já que as retas não são concorrentes, vamos verificar se são ortogonais, ou seja, se os vetores diretores são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Calculamos o produto escalar de dr cdot ds = 2 cdot 53 + 1 cdot 43 + (-1) cdot 1 = 103 + 43 - 1 = 143 - 1 = 113 neq 0 e :
Como o produto escalar não é zero, as retas não são ortogonais.

Resposta

As retas e são reversas e não são ortogonais.

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