Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais,
e
, dentro de um espaço vetorial maior
. O exercício pede para a gente mostrar que a interseção desses dois subespaços, que é o conjunto de todos os vetores que estão tanto em
quanto em
,
, também é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- O vetor zero de
está em . - Se você pegar dois vetores quaisquer em
, a soma deles também está em . - Se você multiplicar qualquer vetor de
por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar essas três condições para
.
Passo 3
Condição 1: O vetor zero está em
.
Como
e
são subespaços, ambos contêm o vetor zero de
. Portanto, o vetor zero está em
e também em
, o que significa que ele está na interseção
.
Teoria Aplicada: Subespaços vetoriais sempre contêm o vetor zero.
Passo 4
Condição 2: Fechamento sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
que estão em
. Isso significa que
e
estão tanto em
quanto em
.
Como
é um subespaço, a soma
também está em
.
Da mesma forma, como é um subespaço, a soma
também está em
.
Da mesma forma, como
Assim,
está tanto em
quanto em
, ou seja,
está em
.
Teoria Aplicada: Subespaços vetoriais são fechados sob adição.
Passo 5
Condição 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Agora, vamos pegar um vetor
que está em
e um escalar
. Como
está em
e
, ao multiplicar por
, o vetor
estará em
porque
é um subespaço, e também estará em
porque
é um subespaço.
Portanto,
está tanto em
quanto em
, o que significa que
est�� em
.
Teoria Aplicada: Subespaços vetoriais são fechados sob multiplicação por escalar.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
, ou seja,
é de fato um subespaço de
.