Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Mostre que
W1 cap W2=w in V: w in W1 e w in W2
é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais, e , dentro de um espaço vetorial maior . O exercício pede para a gente mostrar que a interseção desses dois subespaços, que é o conjunto de todos os vetores que estão tanto em quanto em , , também é um subespaço de . Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se você pegar dois vetores quaisquer em , a soma deles também está em .
  3. Se você multiplicar qualquer vetor de por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar essas três condições para .

Passo 3

Condição 1: O vetor zero está em .
Como e são subespaços, ambos contêm o vetor zero de . Portanto, o vetor zero está em e também em , o que significa que ele está na interseção .
Teoria Aplicada: Subespaços vetoriais sempre contêm o vetor zero.

Passo 4

Condição 2: Fechamento sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer e que estão em . Isso significa que e estão tanto em quanto em .
Como é um subespaço, a soma também está em .
Da mesma forma, como é um subespaço, a soma também está em .
Assim, está tanto em quanto em , ou seja, está em .
Teoria Aplicada: Subespaços vetoriais são fechados sob adição.

Passo 5

Condição 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Agora, vamos pegar um vetor que está em e um escalar . Como está em e , ao multiplicar por , o vetor estará em porque é um subespaço, e também estará em porque é um subespaço.
Portanto, está tanto em quanto em , o que significa que est�� em .
Teoria Aplicada: Subespaços vetoriais são fechados sob multiplicação por escalar.

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de , ou seja, é de fato um subespaço de .

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