Para cada item abaixo, determine um valor delta > 0 (em função de epsilon ) que torne a implicação verdadeira: |x-1|<delta => |f(x)-3|<epsilon, onde f(x) = 4x - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um valor em função de que faça com que, se a distância entre e 1 for menor que , então a distância entre e 3 seja menor que . Aqui, a função dada é . Vamos usar o conceito de limite e a definição de continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos dizer com . Isso significa que, se estiver dentro de uma certa distância de 1, então estará dentro de uma distância de 3.

Passo 3

Vamos começar calculando :
Queremos que isso seja menor que :

Passo 4

Agora, para garantir que , podemos dividir ambos os lados por 4:
Isso nos mostra que, se escolhermos , a condição garantirá que .

Resposta

Portanto, um valor apropriado é .

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Para quais valores delta > 0 são verdadeiras as afirmações: |x - 1| < delta => |f(x) - 3| < 10^(-1), onde f(x) = 4x - 1
Verifique se é verdadeiro ou falso: |x - 1| < 10^(-1) => |f(x) - 3| < 10^(-1), onde f(x) = 4x - 1
Prove a partir da definição de limite que: lim x 1 1x=1
Calcule os limites abaixo, usando a mudança de variável sugerida: lim x 2 2-raiz[3]x+6x-2, pondo u=raiz[3]x+6