Prove a partir da definição de limite que: lim x 1 1x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, tende a 1. Estamos lidando com o conteúdo de cálculo, especificamente com limites. Para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar ela para mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . No nosso caso, , e .

Passo 3

Então, precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 4

Vamos trabalhar com a expressão | 1x - 1 | = | 1 - xx | = |1 - x||x| . Podemos simplificar essa expressão:

Passo 5

Queremos que . Para facilitar, vamos garantir que fique próximo de 1, de forma que seja limitado. Suponha que , então está no intervalo , e assim .

Passo 6

Com isso, . Queremos que , ou seja, .

Passo 7

Então, vamos escolher | 1x - 1 | < epsilon como o mínimo entre e . Assim, sempre que , teremos:

Passo 8

Portanto, provamos que usando a definição de limite.

Resposta

Concluímos que .

Exercícios relacionados

Para cada item abaixo, determine um valor delta > 0 (em função de epsilon ) que torne a implicação verdadeira: |x-1|<delta => |f(x)-3|<epsilon, onde f(x) = 4x - 1
Para quais valores delta > 0 são verdadeiras as afirmações: |x - 1| < delta => |f(x) - 3| < 10^(-1), onde f(x) = 4x - 1
Calcule os limites abaixo, usando a mudança de variável sugerida: lim x 2 2-raiz[3]x+6x-2, pondo u=raiz[3]x+6
Calcule os seguintes Limites: lim x 12 8 x^3-16 x^2-5 x+1