Prove a partir da definição de limite que: lim x 1 1x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, tende a 1. Estamos lidando com o conteúdo de cálculo, especificamente com limites. Para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar ela para mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . No nosso caso, , e .

Passo 3

Então, precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 4

Vamos trabalhar com a expressão | 1x - 1 | = | 1 - xx | = |1 - x||x| . Podemos simplificar essa expressão:

Passo 5

Queremos que . Para facilitar, vamos garantir que fique próximo de 1, de forma que seja limitado. Suponha que , então está no intervalo , e assim .

Passo 6

Com isso, . Queremos que , ou seja, .

Passo 7

Então, vamos escolher | 1x - 1 | < epsilon como o mínimo entre e . Assim, sempre que , teremos:

Passo 8

Portanto, provamos que usando a definição de limite.

Resposta

Concluímos que .

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