Calcule os limites abaixo, usando a mudança de variável sugerida: lim x 2 2-raiz[3]x+6x-2, pondo u=raiz[3]x+6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 2 da função . A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos usar a técnica de mudança de variável para facilitar a resolução. A dica é definir .

Passo 2

Primeiro, vamos entender essa mudança de variável. Se u^3 = x + 6 , então podemos reescrever x = u^3 - 6 em termos de . Para isso, elevamos ambos os lados ao cubo:
Assim, isolando :

Passo 3

Agora, vamos substituir limx to 2 2 - u(u^3 - 6) - 2 = limu to 2 2 - uu^3 - 8 na expressão original do limite:

Passo 4

Observamos que o denominador u^3 - 8 = (u - 2)(u^2 + 2u + 4) pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
2 - u(u - 2)(u^2 + 2u + 4) = -(u - 2)(u - 2)(u^2 + 2u + 4) = -1u^2 + 2u + 4
Então, substituindo na expressão do limite:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo -12^2 + 2 cdot 2 + 4 = -14 + 4 + 4 = -112 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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