Em cada item abaixo, determine os valores reais de
que satisfazem as inequações.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores reais de
que satisfazem a inequação
. Estamos lidando com inequações que envolvem frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a inequação para isolar o
e descobrir quais valores fazem a desigualdade ser verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a inequação para facilitar a resolução. Podemos começar subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 3
Para subtrair 1 da fração, precisamos ter o mesmo denominador. Então, reescrevemos o 1 como
:
Passo 4
Agora, vamos subtrair os numeradores mantendo o denominador comum:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Temos uma fração maior que zero, o que significa que tanto o numerador quanto o denominador devem ser positivos ou ambos negativos. Para descobrir onde isso acontece, vamos encontrar os valores de
que fazem o numerador e o denominador serem zero.
Para o numerador
:
Para o denominador
:
Passo 6
Esses valores dividem a linha dos números reais em três intervalos. Vamos analisar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:
Passo 7
Vamos testar um valor de
em cada intervalo:
-
Para
, digamos : - Numerador:
(negativo) - Denominador:
(negativo) - Fração: positivo (negativo dividido por negativo dá positivo)
- Numerador:
-
Para
, digamos : - Numerador:
(negativo) - Denominador:
(positivo) - Fração: negativo (negativo dividido por positivo dá negativo)
- Numerador:
-
Para
, digamos : - Numerador:
(positivo) - Denominador:
(positivo) - Fração: positivo (positivo dividido por positivo dá positivo)
- Numerador:
Passo 8
Analisando os resultados:
- A fração é positiva quando
ou . - Não podemos incluir
porque o denominador fica zero, o que é indefinido.
Resposta
Os valores reais de
que satisfazem a inequação são
ou
.