Em cada item abaixo, determine os valores reais de x que satisfazem as inequações. (5x + 7) / (2x + 3) > 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores reais de que satisfazem a inequação . Estamos lidando com inequações que envolvem frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a inequação para isolar o e descobrir quais valores fazem a desigualdade ser verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a inequação para facilitar a resolução. Podemos começar subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 3

Para subtrair 1 da fração, precisamos ter o mesmo denominador. Então, reescrevemos o 1 como :

Passo 4

Agora, vamos subtrair os numeradores mantendo o denominador comum:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Temos uma fração maior que zero, o que significa que tanto o numerador quanto o denominador devem ser positivos ou ambos negativos. Para descobrir onde isso acontece, vamos encontrar os valores de que fazem o numerador e o denominador serem zero.
Para o numerador :
Para o denominador :

Passo 6

Esses valores dividem a linha dos números reais em três intervalos. Vamos analisar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:

Passo 7

Vamos testar um valor de em cada intervalo:
  1. Para , digamos :
    • Numerador: (negativo)
    • Denominador: (negativo)
    • Fração: positivo (negativo dividido por negativo dá positivo)
  2. Para , digamos :
    • Numerador: (negativo)
    • Denominador: (positivo)
    • Fração: negativo (negativo dividido por positivo dá negativo)
  3. Para , digamos :
    • Numerador: (positivo)
    • Denominador: (positivo)
    • Fração: positivo (positivo dividido por positivo dá positivo)

Passo 8

Analisando os resultados:
  • A fração é positiva quando ou .
  • Não podemos incluir porque o denominador fica zero, o que é indefinido.

Resposta

Os valores reais de que satisfazem a inequação são ou .

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