Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
© ( ) Se a série
é convergente então a sequência
é decrescente.
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
© ( ) Se a série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para avaliar se a seguinte afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F):
© ( ) Se a série
é convergente, então a sequência
é decrescente.
Aqui, estamos lidando com sequências e séries, especificamente sobre a convergência de séries e o comportamento das sequências que a compõem. Para resolver, vamos analisar se a convergência de uma série sempre implica que a sequência dos termos dessa série é decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série
é convergente se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando
vai para o infinito.
Agora, vamos pensar na sequência
. A afirmação diz que se a série converge, então essa sequência deve ser decrescente. Vamos verificar isso.
Passo 3
Para a série convergir, pelo menos uma condição necessária é que o limite dos termos
seja zero, ou seja:
No entanto, isso não garante que os termos estão diminuindo. Uma sequência pode ter termos que não são decrescentes e ainda assim ter seus termos tendendo a zero.
Passo 4
Vamos considerar um exemplo concreto. Observe a série alternada conhecida como série de Leibniz:
Essa série é convergente pela Lei de Leibniz para séries alternadas. Porém, a sequência dos termos:
não é decrescente porque os sinais alternam entre positivo e negativo.
Passo 5
Portanto, encontramos um caso onde a série é convergente, mas a sequência dos termos não é decrescente. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
F
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Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(d)