(2,0) Mostre que a série de funções sumn=1^infty sen(n x)(n+7)^2 é convergente, qualquer que seja x in R.

Passo 1

Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que a série de funções converge para qualquer valor de real. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno sempre está entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer |sen(n x)| <= 1 e | sen(n x)(n+7)^2 | <= 1(n+7)^2 ,
Isso significa que, ao tirar o valor absoluto dos termos da nossa série original, temos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série . Essa é uma série do tipo p-série, onde . Sabemos que uma p-série converge se . Como aqui , a série converge.

Passo 4

Como vimos no Passo 2 que:
E a série | sen(n x)(n+7)^2 | <= 1(n+7)^2 converge, pelo Teste da Comparação, isso implica que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente para qualquer .

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