Mostre que a série de funções é convergente, qualquer que seja .

Passo 1

Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que a série de funções converge para qualquer valor de real. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno sempre está entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer e ,
Isso significa que, ao tirar o valor absoluto dos termos da nossa série original, temos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série . Essa é uma série do tipo p-série, onde . Sabemos que uma p-série converge se . Como aqui , a série converge.

Passo 4

Como vimos no Passo 2 que:
E a série converge, pelo Teste da Comparação, isso implica que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente para qualquer .

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Define-se a convolução de duas funções e por
6.5.
Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
© ( ) Se a série é convergente então a sequência é decrescente.
Determine o intervalo e o raio de convergência da série .