Mostre que a série de funções
é convergente, qualquer que seja
.
Passo 1
Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Precisamos mostrar que a série de funções converge para qualquer valor de
real. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno sempre está entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer
e
,
Isso significa que, ao tirar o valor absoluto dos termos da nossa série original, temos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série
. Essa é uma série do tipo p-série, onde
. Sabemos que uma p-série converge se
. Como aqui
, a série
converge.
Passo 4
Como vimos no Passo 2 que:
E a série
converge, pelo Teste da Comparação, isso implica que a série original também converge absolutamente.
Resposta
A série é convergente para qualquer
.
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Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.5.
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
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