Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(d) .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma expressão que envolve derivadas e séries infinitas. O conteúdo principal aqui é Cálculo Diferencial e Séries Infinitas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma série termo a termo e entender como somar séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série dentro da derivada: . Essa é uma série geométrica onde cada termo é elevado a uma potência par. Sabemos que podemos derivar uma série termo a termo se ela converge.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da série:
Aqui, usamos a regra da potência para derivar , que nos dá .

Passo 4

Agora, observamos que:
É essencialmente a mesma expressão que obtivemos após a derivada, exceto que o somatório começa em em vez de . Porém, quando , o termo é zero, então podemos começar o somatório de sem alterar o resultado.

Resposta

V.

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência da série .
Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
© ( ) Se a série é convergente então a sequência é decrescente.
Seja a seguinte integral dupla:
b) Resolva a integral dupla considerando .