( 2 , 0 ) Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(d) () dd x(sumn=0^infty x^2 n)=2 sumn=1^infty n x^2 n-1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma expressão que envolve derivadas e séries infinitas. O conteúdo principal aqui é Cálculo Diferencial e Séries Infinitas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma série termo a termo e entender como somar séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série dentro da derivada: . Essa é uma série geométrica onde cada termo é elevado a uma potência par. Sabemos que podemos derivar uma série termo a termo se ela converge.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da série:
dd x (sumn=0^infty x^2n) = sumn=0^infty dd x (x^2n) = sumn=0^infty 2n x^2n-1
Aqui, usamos a regra da potência para derivar , que nos dá .

Passo 4

Agora, observamos que:
2 sumn=1^infty n x^2n-1
É essencialmente a mesma expressão que obtivemos após a derivada, exceto que o somatório começa em em vez de . Porém, quando , o termo é zero, então podemos começar o somatório de sem alterar o resultado.

Resposta

V.

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