integral t e^3 t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = t e dv = e^3t , dt e . Uma boa escolha é:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddt(t) , dt = 1 , dt e v = integral e^3t , dt = 13 e^3t :
Para encontrar , integramos . A integral de é , onde é uma constante. Aqui, .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t e^3t , dt = uv - integral v , du = t cdot 13 e^3t - integral 13 e^3t cdot 1 , dt
Simplificando:
t3 e^3t - 13 integral e^3t , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral e^3t , dt = 13 e^3t + C
Substituindo de volta:
t3 e^3t - 13 cdot 13 e^3t + C = t3 e^3t - 19 e^3t + C

Resposta

A integral de integral t e^3t , dt = t3 e^3t - 19 e^3t + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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