(2,0) Determine o intervalo e o raio de convergência da série sumn=1^infty 3^n(n x)^n.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado: temos a série sumn=1^infty 3^n(n x)^n. O conteúdo aqui é sobre séries de potências e queremos descobrir o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste. Observamos que:
3^n(n x)^n = (3 n x)^n
Então, a nossa série fica:
sumn=1^infty (3 n x)^n

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Raiz. Esse teste diz que a série limn to infty raiz[n]|an| < 1 converge se:
raiz[n]|an| = raiz[n]|3 n x|^n = |3 n x|
No nosso caso, limn to infty |3 n x| = limn to infty 3 |x| cdot n = +infty, & se x neq 0 0, & se x = 0 , então:
Agora, calculamos o limite:

Passo 4

De acordo com o Teste da Raiz:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se o limite for igual a 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso:
  • Para , o limite é , então a série diverge.
  • Para , o limite é , então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas o ponto .

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