Determine o intervalo e o raio de convergência da série .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado: temos a série . O conteúdo aqui é sobre séries de potências e queremos descobrir o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste. Observamos que:
Então, a nossa série fica:

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Raiz. Esse teste diz que a série converge se:
No nosso caso, , então:
Agora, calculamos o limite:

Passo 4

De acordo com o Teste da Raiz:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se o limite for igual a 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso:
  • Para , o limite é , então a série diverge.
  • Para , o limite é , então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas o ponto .

Exercícios relacionados

Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
© ( ) Se a série é convergente então a sequência é decrescente.
Mostre que a série de funções é convergente, qualquer que seja .
Para cada item abaixo, diga se é verdadeiro (V) ou falso (F).
Observação 1: Não é necessário justificar.
Observação 2: Cada item marcado errado anula a pontuação de um item marcado corretamente. Você tem a opção de deixar o item em branco e, nesse caso, você nem ganha e nem perde pontos.
(d) .