integral x^2 e^-5 x d x

Passo 1

Estamos tratando de resolver a integral integral x^2 e^-5 x , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Escolheremos u e dv de forma que simplifiquem a integral. Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = e^-5x , dx Rightarrow v = integral e^-5x , dx = -15 e^-5x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^-5x , dx = u , v - integral v , du = x^2 (-15 e^-5x) - integral (-15 e^-5x) (2x , dx)
Simplificando:
= -15 x^2 e^-5x + 25 integral x e^-5x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x e^-5x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Definimos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-5x , dx Rightarrow v = -15 e^-5x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x e^-5x , dx = u , v - integral v , du = x (-15 e^-5x) - integral (-15 e^-5x) dx
Simplificando:
= -15 x e^-5x + 15 integral e^-5x , dx = -15 x e^-5x - 125 e^-5x

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 e^-5x , dx = -15 x^2 e^-5x + 25 ( -15 x e^-5x - 125 e^-5x )
Distribuindo:
= -15 x^2 e^-5x - 225 x e^-5x - 2125 e^-5x
Fatorando e^-5x:
= e^-5x ( -15 x^2 - 225 x - 2125 ) + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x^2 e^-5x , dx = -15 x^2 e^-5x - 225 x e^-5x - 2125 e^-5x + C

Exercícios relacionados