Seja a seguinte integral dupla:
integral-1^2 integral0^x+1 f(x, y) d y d x
b) Resolva a integral dupla considerando f(x, y)=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
integral-1^2 integral0^x+1 x^2 , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes em funções de duas variáveis. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral0^x+1 x^2 , dy = x^2 cdot (x + 1 - 0) = x^2(x + 1) em relação a . Como não depende de , ele é tratado como uma constante durante essa parte da integração. A integral de uma constante em relação a de a é .
Então:

Passo 3

Agora, precisamos integrar a expressão resultante x^2(x + 1) = x^3 + x^2 em relação a integral-1^2 (x^3 + x^2) , dx = integral-1^2 x^3 , dx + integral-1^2 x^2 , dx de a . Primeiro, vamos expandir a expressão:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 4

Calculando as integrais separadamente:
integral x^3 , dx = x^44 + C
integral x^2 , dx = x^33 + C
Aplicando os limites de integração de [ x^44 ]-1^2 = ( 2^44 ) - ( (-1)^44 ) = 164 - 14 = 154 a [ x^33 ]-1^2 = ( 2^33 ) - ( (-1)^33 ) = 83 - ( -13 ) = 93 = 3 :

Passo 5

Somando os resultados das integrais:
154 + 3 = 154 + 124 = 274

Resposta

O valor da integral dupla é .

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