Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
u=(4,2,3), v=(2,0,0) e w=(-1,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente dizer se os vetores , e são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente independentes (L.I.). O conteúdo aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar usar matrizes e determinar se existe uma relação entre esses vetores que não seja a trivial (ou seja, além de multiplicar tudo por zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Se houver uma combinação linear desses vetores que dê o vetor zero, e essa combinação não for apenas multiplicar todos por zero, então eles são linearmente dependentes. Se a única combinação que dá zero for realmente multiplicar todos por zero, então eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para descobrir isso, vamos montar uma matriz usando os vetores como colunas:
A = 4 & 2 & -1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for igual a zero, eles são linearmente dependentes.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(A) = 4 cdot (0 cdot 3 - 2 cdot 0) - 2 cdot (2 cdot 3 - 2 cdot 3) + (-1) cdot (2 cdot 0 - 0 cdot 3) :
det(A) = 4 cdot (0 - 0) - 2 cdot (6 - 6) + (-1) cdot (0 - 0) = 0 - 0 + 0 = 0
Simplificando:

Passo 6

O determinante deu zero, o que significa que os vetores não são todos diferentes de zero e que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados