Mostre que , definida por
é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função , definida por
é uma transformação linear. Isso está relacionado ao conteúdo de transformações lineares em álgebra linear. Para resolver, vamos usar a definição de transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Vamos começar verificando a propriedade da adição. Sejam e . Primeiro, somamos os vetores:
Agora, aplicamos nessa soma:
Por outro lado, aplicamos individualmente e somamos:
Vemos que , então a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja um escalar e . Primeiro, multiplicamos o vetor por :
Aplicamos nesse vetor:
Por outro lado, multiplicamos por :
Novamente, temos , então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade são satisfeitas, concluímos que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Sejam e transformações lineares. Encontre um exemplo em que não é invertível e outro em que é invertível.
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Mostre que a função definida por
é uma transformação linear.