Mostre que
, definida por
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função
, definida por
é uma transformação linear. Isso está relacionado ao conteúdo de transformações lineares em álgebra linear. Para resolver, vamos usar a definição de transformação linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Vamos começar verificando a propriedade da adição. Sejam
e
. Primeiro, somamos os vetores:
Agora, aplicamos
nessa soma:
Por outro lado, aplicamos
individualmente e somamos:
Vemos que
, então a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Primeiro, multiplicamos o vetor por
:
Aplicamos
nesse vetor:
Por outro lado, multiplicamos
por
:
Novamente, temos
, então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade são satisfeitas, concluímos que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Sejam
e
transformações lineares. Encontre um exemplo em que
não é invertível e outro em que
é invertível.
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Mostre que a função
definida por
é uma transformação linear.