Mostre que T: R^3 M2(R), definida por
T(x, y, z)=[cc 2 x+z & 0 0 & y ]
é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função T(x, y, z)=[cc 2 x+z & 0 0 & y ] , definida por
é uma transformação linear. Isso está relacionado ao conteúdo de transformações lineares em álgebra linear. Para resolver, vamos usar a definição de transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Vamos começar verificando a propriedade da adição. Sejam u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e T(u + v) = [cc 2(x1 + x2) + (z1 + z2) & 0 0 & y1 + y2 ] = [cc 2x1 + z1 + 2x2 + z2 & 0 0 & y1 + y2 ] . Primeiro, somamos os vetores:
T(u) + T(v) = [cc 2x1 + z1 & 0 0 & y1 ] + [cc 2x2 + z2 & 0 0 & y2 ] = [cc 2x1 + z1 + 2x2 + z2 & 0 0 & y1 + y2 ]
Agora, aplicamos nessa soma:
Por outro lado, aplicamos individualmente e somamos:
Vemos que , então a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja cu = (cx, cy, cz) um escalar e T(cu) = [cc 2(cx) + cz & 0 0 & cy ] = [cc c(2x + z) & 0 0 & cy ] . Primeiro, multiplicamos o vetor por cT(u) = c[cc 2x + z & 0 0 & y ] = [cc c(2x + z) & 0 0 & cy ] :
Aplicamos nesse vetor:
Por outro lado, multiplicamos por :
Novamente, temos , então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade são satisfeitas, concluímos que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados