Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(g) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação linear tem autovalores e autovetores. Se tiver, a gente também precisa encontrar os autoespaços generalizados. Isso está relacionado ao estudo de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz da transformação, encontrar os autovalores resolvendo o determinante e, depois, achar os autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear na forma de uma matriz. A transformação pode ser representada pela matriz:
Passo 3
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação , onde é o autovalor e é a matriz identidade.
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo o sistema:
Da última equação, . Substituindo nas anteriores, . O valor de é livre, então os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda e terceira equações, . Substituindo na primeira, . Portanto, os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Portanto, os autovetores são múltiplos de .
Passo 5
Como encontramos três autovalores distintos () e para cada um deles existe um autovetor não nulo, isso indica que a matriz é diagonalizável. Além disso, os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços propriamente ditos, já que não há necessidade de considerar vetores generalizados além dos autovetores.
Resposta
Sim, a transformação possui três autovalores distintos:
Autovalor com autovetor correspondente .
Autovalor com autovetor correspondente .
Autovalor com autovetor correspondente .
Os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços próprios, já que a transformação é diagonalizável.