Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função que satisfaz as condições do enunciado.
(a) é contínua em todos os pontos, exceto em , onde o limite pela direita existe e é igual a .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos que desenhar o gráfico de uma função que seja contínua em todos os pontos, menos em . Além disso, no ponto , o limite pela direita existe e é igual a . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é continuidade, limites laterais e como representar uma descontinuidade no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja:
No nosso caso, a função é contínua em todos os pontos, exceto em .

Passo 3

Agora, vamos focar na condição de descontinuidade em . Sabemos que o limite pela direita em existe e é igual a . Isso significa que:
Mas, como a função não é contínua em , o limite pela esquerda deve ser diferente de ou não existir.

Passo 4

Para representar essa situação no gráfico, vamos fazer o seguinte:
  • A função será contínua em todo lugar, então o gráfico será uma linha ou curva sem quebras, exceto em .
  • Em , vamos ter uma descontinuidade removível ou uma quebra. Como o limite pela direita existe e é igual a , desenharemos um ponto sólido em e talvez um ponto aberto em se o limite pela esquerda for diferente.

Passo 5

Vamos imaginar uma função simples, como uma reta que passa por todos os pontos menos em . Por exemplo:
Aqui, para , a função é , que é contínua. Em , . O limite pela direita quando se aproxima de 3 é:
Mas o limite pela esquerda também é 5, então na verdade essa função seria contínua. Para criar uma descontinuidade, podemos alterar o valor de .

Passo 6

Vamos ajustar a função para que haja a descontinuidade apenas de um lado. Por exemplo:
Aqui, o limite à direita em continua sendo 5, igual a , mas podemos deixar o limite pela esquerda ser diferente se quisermos.

Passo 7

Finalmente, desenhando o gráfico:
  • Trace a reta para todos os menos em 3.
  • No ponto , coloque um ponto sólido em .
  • Se quiser enfatizar a descontinuidade, você pode deixar um ponto aberto ligeiramente acima ou abaixo em , indicando que a função não é contínua ali.

Resposta

O gráfico de é uma reta contínua para todos os exceto em , onde há um ponto sólido em representando e uma quebra na curva, garantindo que a função não é contínua nesse ponto.

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